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안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

대문을 제작해주신 @cheongpyeongyull 님께 감사드립니다.

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에르미트 다항식

오늘은 일차원 조화 진동자 퍼텐셜을 갖는 슈뢰딩거 방정식의 푸는데 필요한 일차원 조화 진동자의 에르미트 다항식(Hermite polynomial)에 대해 알아보겠습니다.

먼저 슈뢰딩거 방정식을 살펴보겠습니다.

이 식은 Chapter 8. 물리학에서 자주 접하는 미분 방정식에서 소개했던 슈뢰딩거 방정식의 시간 비의존 형태입니다.

이제 일차원 조화 진동자 퍼텐셜을 다음과 같이 대입합니다.

아래처럼 E와 k를 함께 묶어 치환한다면 헬름홀츠 방정식과 유사한 꼴이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

먼저 다음과 같이 변수를 치환해봅시다.

식이 훨씬 간단해집니다.

이 방정식의 해는 급수해법으로 구해지지 않습니다. 따라서 해를 급수해법으로도 구할 수 있는 꼴로 변환해보겠습니다.

위 변환을 거치면 아래와 같은 방정식이 유도되는데 이를 에르미트 미분 방정식이라고 합니다.

이 에르미트 미분 방정식의 해를 구하는 방법은 여러 가지가 있죠.

첫째, 로드리게스 (Rodrigues) 공식을 이용하여 구할 수 있습니다.

둘째, 급수해법으로 구할 수 있습니다.

셋째, 생성 함수로 구할 수 있습니다.

에르미트 다항식의 성질을 알아보겠습니다.

이상의 결과로부터 일차원 조화 진동자 퍼텐셜을 갖는 슈뢰딩거 방정식의 해가 되는 파동함수와 에너지를 구할 수 있지요.

다음 편을 기대해주세요!

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• 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
• 본문을 작성하는데 있어 위키피디아 내용을 참조하였습니다.

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