[수리물리학 이야기] Chapter 13. 에르미트 다항식

in #kr3 years ago (edited)

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안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

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대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

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대문을 제작해주신 @cheongpyeongyull 님께 감사드립니다.


에르미트 다항식

오늘은 일차원 조화 진동자 퍼텐셜을 갖는 슈뢰딩거 방정식의 푸는데 필요한 일차원 조화 진동자의 에르미트 다항식(Hermite polynomial)에 대해 알아보겠습니다.

먼저 슈뢰딩거 방정식을 살펴보겠습니다.

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이 식은 Chapter 8. 물리학에서 자주 접하는 미분 방정식에서 소개했던 슈뢰딩거 방정식의 시간 비의존 형태입니다.

이제 일차원 조화 진동자 퍼텐셜을 다음과 같이 대입합니다.

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아래처럼 E와 k를 함께 묶어 치환한다면 헬름홀츠 방정식과 유사한 꼴이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

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먼저 다음과 같이 변수를 치환해봅시다.

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식이 훨씬 간단해집니다.

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이 방정식의 해는 급수해법으로 구해지지 않습니다. 따라서 해를 급수해법으로도 구할 수 있는 꼴로 변환해보겠습니다.

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위 변환을 거치면 아래와 같은 방정식이 유도되는데 이를 에르미트 미분 방정식이라고 합니다.

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이 에르미트 미분 방정식의 해를 구하는 방법은 여러 가지가 있죠.

첫째, 로드리게스 (Rodrigues) 공식을 이용하여 구할 수 있습니다.

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둘째, 급수해법으로 구할 수 있습니다.

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셋째, 생성 함수로 구할 수 있습니다.

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에르미트 다항식의 성질을 알아보겠습니다.

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이상의 결과로부터 일차원 조화 진동자 퍼텐셜을 갖는 슈뢰딩거 방정식의 해가 되는 파동함수와 에너지를 구할 수 있지요.

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다음 편을 기대해주세요!



지난 이야기


  • 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
  • 본문을 작성하는데 있어 위키피디아 내용을 참조하였습니다.

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머리가좋으신가봐요 보자마자 ㅎㅎ 머리가아프고 꼭 타지 외국말을 보는듯한느낌 ㅎㅎㅎㅎ 부럽네요

이공계 대학생들은 모두 배우는 내용이랍니다 ㅎㅎ 비전공자 입장에서는 정말 외계어처럼 보일것 같네요