[수리물리학 이야기] Chapter 10. 르장드르 다항식과 르장드르 연관 다항식
안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.
@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.
르장드르 다항식
르장드르 (Legendre) 다항식은 구면좌표계에서 헬름홀츠 방정식을 구하는 과정에서 등장하는 르장드르 방정식의 해가 되는 다항식입니다. 또한, 헬름홀츠 방정식에서 k=0인 경우가 라플라스 방정식에 해당합니다. 따라서 르장드르 다항식은 구 대칭성을 갖고 있는 문제에서 구면좌표계를 도입하여 헬름홀츠 방정식과 라플라스 방정식의 해를 도출해내는데 있어 필수적인 요소라고 할 수 있겠습니다.
위 르장드르 방정식의 해는 르장드르 다항식이며, 르장드르 다항식의 일반해는 아래 로드리게스 (Rodrigues) 공식으로 표현됩니다.
르장드르 다항식의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
르장드르 다항식 다항식을 쉽게 구하는 방법이 있습니다. 바로 아래의 생성 함수를 이용하는 것인데요.
좌변을 테일러 전개한 식과 우변을 비교하여 구하는 것입니다.
르장드르 다항식은 다음의 고유한 특성이 있다.
- (1) 순환관계식이 존재한다.
- (2)직교성이 갖는다.
x=cosθ로 주어졌으므로 x의 범위는 구간 [-1, 1]에 국한됩니다.
이 구역 내의 임의의 다항식은 르장드르 다항식의 조합으로 표현할 수 있죠.
르장드르 연관 다항식
르장드르 다항식에서부터 파생되어 사용하는 르장드르 연관 (associtated Legendre) 다항식에 대해 알아보겠습니다. 앞서 알아보았던 르장드르 다항식은 르장드르 연관 방정식의 해가 되는 함수입니다. 즉, 르장드르 연관 다항식이 르장드르 다항식을 포괄하는 상위 개념이라고 생각하시면 됩니다. 구 대칭성을 갖고 있는 문제에서 구면좌표계를 도입하여 헬름홀츠 방정식과 라플라스 방정식의 해를 도출해내는데 있어 실질적으로 사용되는 것은 르장드르 연관 다항식입니다.
르장드르 연관 다항식은 르장드르 다항식으로부터 다음의 관계식을 통해 표현됩니다.
르장드르 연관 다항식의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
르장드르 다항식처럼 르장드르 연관 다항식 역시 순환관계식이 존재하고 직교성을 갖습니다.
다음 편을 기대해주세요!
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- 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
- 본문을 작성하는데 있어 위키피디아 내용을 참조하였습니다.
Cheer Up!
기초가 너무나 멀군요 ㅎㅎㅎㅎ
기초라고 하기엔 어려운 내용이지요 ㅎㅎ
오랜만에 수학을 보니 머리가 지끈지끈해지네요~~~
복잡한 수식을 보면 절로 머리가 지끈지끈거리지요 ㅎㅎ
역시 어렵군요;;;
결코 쉬운 문제가 아니지만 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 정리해보고 있습니다 ㅎㅎ 아시는 분만 아시게 될 수도 있지만 나름 Chapter 순서대로 수리물리학 진도 흐름을 맞춰서 구성하고 있답니다.
수리물리는 정말 어렵습니다..ㅎㅎㅎ
어렵지만 꼭 필요하고 또 중요하지요 ㅎㅎ 모든 이공계 대학생들에게 애증의 과목인것 같습니다
수학자들은 참 대단한 것 같습니다ㅎㅎㅎ
한편으로는 저 여려운 계산과 풀이를 대신 해줬으니 정말 감사하답니다 ㅎㅎ
어떤 종류의 문제입니까?
The solution of Helmholtz equation and Laplace equation. The Legendre polynomial and associtated Legendre polynomial are introduced.
Ok thank
잘보고 갑니다.
감사합니다~
훈하니님 볼때마다 대단...👍👍
훈하니님 볼때마다 대단...👍👍
그래서 댓글을 두 개까지 다신건가요? ㅋㅋㅋ 요즘 댓글 쓸 때 바로 안 써져서 저도 가끔 그러더라구요
아구..두개 댓글다는게 계속 오류가 나네요ㅠㅠ힝