[수리물리학 이야기] Chapter 7. 원통좌표계, 구면좌표계

hunhani (65)in #kr • 7 years ago

안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

원통좌표계

원통좌표계는 3차원 공간을 나타내기 위해, 평면 극좌표계에 평면에서부터의 높이를 함께 나타내어 이루어지는 좌표계입니다. 원통좌표계는 한 축을 중심으로 대칭성을 갖는 경우에 적용할 때 매우 유용하게 기술할 수 있습니다. 예를 들어, 긴 원통형 관을 지나는 유체, 도선을 지나는 전자, 도파관을 지나는 전자기파의 움직임을 기술할 때 주로 원통좌표계를 사용합니다.

직교좌표계에서의 x, y, z 와 원통좌표계에서의 ρ, ϕ, z 사이의 관계식

직교좌표계에서의 단위 벡터와 원통좌표계의 단위 벡터 사이의 관계식

원통좌표계의 길이 요소

원통좌표계의 부피 요소

원통좌표계에서의 기울기(스칼라장의 최대의 증가율을 나타내는 벡터장) 표현

원통좌표계의 발산(벡터장이 정의된 공간의 한 점에서 장이 퍼져 나오는지, 아니면 모여서 없어지는지 정도를 측정하는 1차 미분 연산자) 표현

원통좌표계의 라플라시안(벡터장의 기울기의 발산을 의미하는 2차 미분 연산자) 표현

원통좌표계의 회전(3차원 벡터장을 다른 3차원 벡터장으로 대응시키는 1차 미분 연산자) 표현

구면좌표계

구면좌표계는 3차원 공간을 나타내기 위해, 원점에서의 거리, 양의 방향의 z축과 이루는 각도, z축을 축으로 양의 방향의 x축과 이루는 각을 이용하여 함께 나타내어 이루어지는 좌표계입니다. 구면좌표계는 원점을 중심으로 구 대칭성을 갖는 경우에 적용할 때 매우 유용하게 기술할 수 있습니다. 예를 들어, 구 대칭성이 있는 수소원자의 전자 궤도를 슈뢰딩거 방정식으로 풀 때, 지구(행성)이 태양(항성)을 공전하는 것처럼 천체의 역학적 위치와 움직임을 기술할 때 주로 구면좌표계를 사용합니다.

직교좌표계에서의 x, y, z 와 구면좌표계에서의 r, θ, ϕ 사이의 관계식