[수리물리학 이야기] Chapter 4. 푸리에 변환 및 역변환

hunhani (65)in #kr • 7 years ago

안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

푸리에 변환 및 역변환

[수리물리학 이야기] Chapter 3. 푸리에 해석과 푸리에 계수에서 주기함수는 삼각함수들의 합으로 표현할 수 있다는 것을 알아보았습니다. 그렇다면 ‘주기가 없는 함수도 삼각함수들의 합으로 표현할 수 있을까?’라는 의문을 가질 수 있겠죠. 그 질문에 대한 대답은 ‘그렇다’입니다. 주기가 없다는 것은 주기가 무한대가 된다는 것입니다. 그러니 적분구간을 (-∞, ∞)로 잡아서 적분하면 됩니다. 푸리에 계수들은 n값에 따라 변하므로 n에 대한 함수가 되겠지요. [수리물리학 이야기] Chapter 3. 푸리에 해석과 푸리에 계수에서 선보인 것처럼 오일러의 공식을 이용하여 푸리에 계수들에 관한 적분을 아래와 같이 한 개의 적분으로 표현할 수가 있습니다.

위 식은 에 대한 함수이므로 g(n)으로 표현하겠습니다.

이제 적분구간을 (-∞, ∞)로 잡아서 적분하는데 이를 푸리에 변환이라고 합니다.

푸리에 계수는 주기함수에 관하여 각각 띄엄띄엄 떨어진, 즉 이산적인 주파수들의 분포를 나타내며 푸리에 계수가 클수록 해당 주파수의 기여도가 크다고 할 수 있습니다. 푸리에 변환으로 얻은 함수 g(α)는 비주기 함수에 관하여 쭉 연결된, 즉 연속적인 주파수 분포가 나타냅니다.

푸리에 급수에서 처음 사용한 식은 오일러의 공식을 이용하여 다음과 같이 복소수를 사용한 형태로 바꾸어 쓸 수 있죠.

f(x)의 계수 cn은 푸리에 계수들인 an, bn에 의해서 결정되는데요.

이 식에 연속조건을 추가하여 급수를 적분으로 치환하는 것을 푸리에 역변환이라고 합니다.

위 식에서 g(α)는 앞의 푸리에 변환에서 나오는 함수입니다.

푸리에 변환과 역변환은 통신제어 공학을 하는데 신호와 그 주파수를 분석하는데 쓰입니다. 어떠한 함수(신호) f(x)가 주어졌을 때, 각각의 주파수에 대한 분포 g(ω)를 알고 싶은 경우에는 푸리에 변환을 사용합니다. 또한, 반대로 각각의 주파수에 관한 분포 g(ω)가 주어졌을 때는 푸리에 역변환을 사용해 원래의 함수(신호) f(x)를 알 수 있지요. 이를 이용하여 특정 주파수 대역의 크기를 줄이거나 키우는 디지털 필터를 구성하거나 AM 및 FM 아날로그 통신의 신호를 분석할 수 있습니다. 디지털 데이터를 만들고 고속 푸리에 역변환을 한 후 아날로그 신호로 만들어 날리는 작업이 바로 현재의 LTE 등에서 사용하는 OFDM입니다.

양자역학에서는 위치에 대한 상태, 운동량에 대한 상태를 치환하는데 푸리에 변환 및 역변환을 사용하며 이를 통해 아래와 같이 자유입자의 상태를 기술할 수 있습니다. 임의의 공간에서의 모든 파동함수는 반드시 빈 공간의 슈뢰딩거 방정식의 해인 평면파 꼴의 선형 결합으로 표현이 가능한데, 이를 푸리에 공간에서 해석하면 정량적으로 표현할 수 있죠. 입자의 위치 및 시간에 대응하는 파동벡터 및 진동수를 연결 짓는데 있어 푸리에 변환 및 역변환을 일종의 입자-파동 이중성의 수학적 근거로 인정하는 것입니다.

이외에도 유체역학에서 풀기 어려운 편미분방정식의 형태에 속하는 나비에-스톡스 방정식에 몇 가지 물리적 조건을 더해 푸리에 해석을 사용하면 컴퓨터로 방정식을 계산해내는 것이 가능합니다. 고체물리학에서는 고체의 결정 구조를 다룰 때 아예 주기성을 갖고 반복되는 계를 분석해야 하는데 푸리에 해석이 아주 유용하게 쓰이지요.