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안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

오늘은 켈리의 공식으로 알아보는 포트폴리오를 분산하는 방법에 대해 살펴보겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

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포트폴리오를 분산하는 방법

돈과 관련된 결정을 할 때에 가장 중요한 문제는 투자에 적합한 지표를 찾는 것뿐만 아니라 어떻게 포트폴리오를 분산할 것이냐에 달려있습니다. 미국의 수학자 켈리는 벨 연구소에서 근무하면서 어떤 전송 채널이 가질 수 있는 최대 속도에 관한 연구를 수행했는데 1956년 관련 논문을 발표하면서 우연히 도박 혹은 주식 투자를 할 때 얼마만큼의 자금을 투입해야 하는가에 관한 방정식을 도출하게 됩니다. 이 방정식은 켈리의 공식, 켈리의 기준, 켈리의 전략, 켈리의 베팅 등 다양하게 불리고 있습니다. 켈리의 공식은 반복되는 일련의 투자가 필요한 포트폴리오 선택에서 최적 투자 금액을 결정해줍니다. 단순화된 몇 가지 가정만 있으면 대부분의 도박과 주식 투자에서 장기적으로 다른 어떤 전략보다 우월한 성과를 내는 것이 검증되었죠. 수익률의 변동성은 최소로 해주면서 동시에 파산을 방지하기 위해서 최적 투자 금액을 산정하는 하나의 기준으로서 작용하기 때문에 켈리의 공식은 투자 이론의 주류가 되었습니다. 심지어 워렌 버핏, 빌 그로스 등 성공한 투자자들이 켈리의 공식을 사용한다는 주장이 제기되었는데 사실 여부는 확인이 불가능합니다.

켈리의 공식

• 이길 확률: p
• 질 확률: q = 1-p
• 배당률: b
• 가진 돈에 대한 거는 돈의 비율의 최적 조건: (pb-q)/b

만약 켈리의 공식 (pb-q)/b 값이 양수이면 이기는 쪽에 투자를 하고, 0이면 돈을 걸면 안 되고, 음수이면 지는 쪽에 돈을 걸어야 합니다.

예를 들어, p가 30% (0.3), b가 2인 경우, 켈리의 공식 값은 –0.05이므로 투자하면 손해를 봅니다. p가 50% (0.5), b가 1인 경우, 켈리의 공식 값은 0이므로 투자했을 때 기댓값이 0입니다. 반면, p가 40% (0.4), b가 3인 경우, 켈리의 공식 값은 0.2이므로 투자하면 이득을 보겠죠.

켈리의 공식을 적용한 전설적인 투자자 에드워드 소프

도박이나 주식 투자에서 정보가 충분하지 않아 자신이 이길 확률이 100%가 아닌 상황이라면 가진 돈 전부를 걸 때 이기면 이득을 보겠지만, 지면 빈털터리가 됩니다. 따라서 가진 돈의 일부를 걸어야 할 수 밖에 없는데요. 켈리의 공식을 적용해서 가장 안정적인 수익을 달성한 수학자 겸 투자자로 유명한 에드워드 소프는 미국 육군의 연구팀이 카지노 게임 블랙잭에서 가능한 경우의 수를 모두 분석하여 구해낸 최적의 전략을 변형하여 카드 카운팅과 결합하면 딜러보다 유리한지를 판단할 수 있다는 것을 MIT의 컴퓨터 IBM 704를 써서 증명했습니다. 블랙잭은 자신이 지는 쪽에 돈을 걸 수가 없고 딜러를 이길 경우에 배당률은 1:1인 점을 생각하면 p > 0.5 일 때 돈을 딸 수가 있죠. 그런데 자신이 가진 카드의 숫자들의 합이 21인 경우 배당률은 3:2이므로 p > 0.4 일 때 돈을 걸 수 있습니다. 소프는 이러한 켈리의 공식을 적용하여 카지노에서 30여 시간 만에 1만 달러를 2만 1000달러로 불릴 수 있었습니다. 소프는 또한 룰렛 게임에서 돈을 따기 위해 담뱃갑 크기의 착용형 장비를 섀넌과 함께 제작한 적도 있는데요. 룰렛의 베팅이 종료되기 전까지 공의 움직임을 측정하는데 38개의 가능한 결과 중의 하나에 공이 정확히 어디에 멈출지를 결정하지는 못하지만 4개 또는 5개로 이루어진 여덟 구역 중의 어느 곳에 공이 멈춰 설지를 예측하여 켈리의 공식에 따라 어느 숫자에 얼마를 걸어야 할지를 결정하는 방식을 취했습니다. 소프는 라스베이거스에서 이 기계가 의도하는 대로 작동함을 확인했죠. 소프는 이러한 경험을 바탕으로 주식 시장에 도전하였고 오즈번의 주장을 반영하여 주식 옵션의 실제 가치를 계산하고 켈리의 공식을 적용했습니다. 소프는 이를 통해 주가가 올라 발생하는 손실을 상쇄시키기 위하여 공매도를 하는 동시에 기초 주식을 일정 수만큼 매수하여 주가가 극적으로 변하지 않는 한 항상 수익을 올릴 수 있는 방법을 발견하여 연간 20%의 수익률을 지속적으로 올릴 수 있었죠. 소프의 이러한 방법을 델타헤징이라고 일컫습니다.

켈리의 공식이 만능은 아니다

현명한 투자자는 항상 순간적 충동에 의존하기보다는 수학적 이점을 찾고자 노력합니다. 켈리의 공식을 사용하면 투자자가 얼마의 금액을 투자해야 하는지 아는데 큰 도움이 될 것입니다. 그러나 켈리의 공식은 사전적으로 결정된 비율의 자산을 베팅하는 것이므로 어떻게 보면 반직관적일수 있습니다. 켈리의 공식이 장기적으로 다른 어떤 전략보다 더 좋은 성과를 약속한다지만, 개인의 특정한 투자 제약이 최적 성장률에 대한 필요성을 압도할 수 있다고 주장하는 몇몇 경제학자들은 이에 격하게 반발합니다. 따라서 투자 금액의 규모가 투자 결과의 기대 효용을 극대화해야 한다는 기대효용 이론이 대안으로 제시되는데요. 기대효용에 관련한 내용은 다음에 다루도록 보겠습니다.

다음 편을 기대해주세요!

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• 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
• 본문을 작성하는데 있어 주식투자는 두뇌게임이다, 돈의 물리학, 금융의 물리학, 위키피디아 내용을 참조하였습니다.

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