[수리물리학 이야기] Chapter 3. 푸리에 해석과 푸리에 계수
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안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.
@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.
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푸리에 해석과 푸리에 계수
Chapter 2. 크로네커 델타와 푸리에 급수에서 푸리에 급수, 푸리에 전개, 푸리에 계수, 푸리에 해석이 무엇인지 알아보았습니다. ‘푸리에 계수를 구하라.’는 말과 ‘푸리에 해석하라.’는 말은 같은 뜻이었죠? 이번에는 푸리에 계수를 실제로 어떻게 구하는지에 대해 구체적으로 알아보겠습니다. 푸리에 계수는 삼각함수의 직교성을 이용하여 정적분하여 직접 구할 수 있습니다.
함수 f(x)의 주기가 2π라면 편의에 따라 적분구간을 [0, 2π]로 잡으나, [-π, π]로 잡으나 적분 결과는 같습니다.
적분이 많다고 해서 겁먹을 필요 없습니다. 삼각함수의 직교성을 이용하면 식이 훨씬 간단해지거든요.
우변에서 첫 번째 적분 식만 2π가 도출되고 이를 제외한 나머지 적분 식 결과는 모두 0이 되니까요. 이를 정리하면 다음과 같습니다.
이번에는 양변의 오른쪽에 cos(x)를 곱한 후 적분해 보겠습니다. 적분구간을 일일이 적기 귀찮아서 비워두었는데 별도의 표기가 없다면 앞으로 적분구간은 [0, 2π]입니다. 아래 적분은 정적분이지 부정적분이 아니니 혼동하지 않으시기 바랍니다.
우변에서 두 번째 적분 식만 π가 도출되고 이를 제외한 나머지 적분 식 결과는 모두 이 됩니다.
같은 방법으로 양변의 오른쪽에 cos(nx)를 곱한 후 적분하면,
여기서도 우변에서 cos(nx)cos(nx)를 포함한 적분 식만 π가 도출되고 이를 제외한 나머지 적분 식 결과는 모두 이 됩니다.
마찬가지 방법으로 sin(nx)를 곱한 후 적분하면 아래와 같은 결과를 얻습니다.
이와 같은 과정을 통해서 푸리에 계수 를 구할 수 있죠.
지금까지 주기가 2π인 주기함수에 대해 푸리에 계수를 구하는 방법을 알아보았습니다. 보다 더 일반적으로 주기가 2L인 주기함수의 푸리에 급수는 어떻게 구할까요? 삼각함수 주기를 2L로 맞추고 적분 구간을 [0, 2L] 혹은 [-L, L]로 바꾸면 됩니다. 마찬가지로 방법으로 정리해보면 아래와 같이 푸리에 계수들을 구할 수 있습니다.
다음 편을 기대해주세요!
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- 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
- 본문을 작성하는데 있어 위키피디아 내용을 참조하였습니다.
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Cheer Up!
아주 어렵지만,
최대한 이해해보려고 노력하면서 읽었습니다.
ㅎㅎ
공학 수학을 배우지 않고 보면 아무래도 많이 어려울것 같습니다 감사합니다
good post bro.....congrats 💡
Thanks.
@.@
눈이 뱅글뱅글 도나요? ㅎㅎㅎ
안녕하세요 hunhani님 이런 어려운 수학물리학에 관심이 있으신 분들이 있는 스팀잇을 사랑합니다^^ 멋진 한 주의 시작이 되시길 바랍니다.
감사합니다.
좋은 하루 되세요 ㅎㅎ 감사합니다
네 ㅎㅎ 감사합니다. 맛있는 점심 식사 되세요^^
옛날 생각나네요.. 주기를 가지고 반복되는 함수들을 삼각함수의 급수로 표현할 수 있다는 발상을 어떻게 했는지 참.. 신통방통합니다.
그렇죠 ㅎㅎ 그런 아이디어 덕분에 발전한 다양한 수학적 기법들을 보면 정말 대단하다는 생각이 듭니다
Thanks.
오 점점 어려워지고 있습니다.
임계치에 다다른듯 ㅋㅋ
앗 그런가요? ㅎㅎ 조금 더 쉽게 적어야겠습니다
설명을 잘 해주셔서 그래도 이해하시는데 도움이 많이 되실 것 같습니다 ^^
그래도 역시 일반인 입장에서는 글이 어렵게 느껴질것 같긴 하네요 ㅎㅎ
우와 고향을 다녀오느라 스티밋세계를 잠깐 떠나있던 사이, 엄청난 프로젝트를 시작하셨네요 +ㅇ+ 삼각함수 기호 외에는 1도 모르겠는 내용이지만 뭔가 멋집니다 ㅋㅋㅋ
@beoped 님에 비하면 엄청난 프로젝트라고 하기엔 부족함이 많습니다 ㅎㅎ 일반인 분들이 더 이해하기 힘드시겠지만 한번쯤 도전해보고 싶었어요!