[수리물리학 이야기] Chapter 3. 푸리에 해석과 푸리에 계수

hunhani (65)in #kr • 7 years ago (edited)

안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

푸리에 해석과 푸리에 계수

Chapter 2. 크로네커 델타와 푸리에 급수에서 푸리에 급수, 푸리에 전개, 푸리에 계수, 푸리에 해석이 무엇인지 알아보았습니다. ‘푸리에 계수를 구하라.’는 말과 ‘푸리에 해석하라.’는 말은 같은 뜻이었죠? 이번에는 푸리에 계수를 실제로 어떻게 구하는지에 대해 구체적으로 알아보겠습니다. 푸리에 계수는 삼각함수의 직교성을 이용하여 정적분하여 직접 구할 수 있습니다.

함수 f(x)의 주기가 2π라면 편의에 따라 적분구간을 [0, 2π]로 잡으나, [-π, π]로 잡으나 적분 결과는 같습니다.

적분이 많다고 해서 겁먹을 필요 없습니다. 삼각함수의 직교성을 이용하면 식이 훨씬 간단해지거든요.

우변에서 첫 번째 적분 식만 2π가 도출되고 이를 제외한 나머지 적분 식 결과는 모두 0이 되니까요. 이를 정리하면 다음과 같습니다.

이번에는 양변의 오른쪽에 cos(x)를 곱한 후 적분해 보겠습니다. 적분구간을 일일이 적기 귀찮아서 비워두었는데 별도의 표기가 없다면 앞으로 적분구간은 [0, 2π]입니다. 아래 적분은 정적분이지 부정적분이 아니니 혼동하지 않으시기 바랍니다.

우변에서 두 번째 적분 식만 π가 도출되고 이를 제외한 나머지 적분 식 결과는 모두 이 됩니다.

같은 방법으로 양변의 오른쪽에 cos(nx)를 곱한 후 적분하면,

여기서도 우변에서 cos(nx)cos(nx)를 포함한 적분 식만 π가 도출되고 이를 제외한 나머지 적분 식 결과는 모두 이 됩니다.

마찬가지 방법으로 sin(nx)를 곱한 후 적분하면 아래와 같은 결과를 얻습니다.

이와 같은 과정을 통해서 푸리에 계수 를 구할 수 있죠.

지금까지 주기가 2π인 주기함수에 대해 푸리에 계수를 구하는 방법을 알아보았습니다. 보다 더 일반적으로 주기가 2L인 주기함수의 푸리에 급수는 어떻게 구할까요? 삼각함수 주기를 2L로 맞추고 적분 구간을 [0, 2L] 혹은 [-L, L]로 바꾸면 됩니다. 마찬가지로 방법으로 정리해보면 아래와 같이 푸리에 계수들을 구할 수 있습니다.