Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias | Lección #10

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente. Este post es la 10ma y última entrega de la serie Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, donde abordaremos el estudio de algunas aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias, en esta publicación trataremos aplicaciones en diversas áreas, como química, economía, física, entre otras. Se tratará de hacerlo de una forma didáctica sin perder de vista el formalismo matemático. La misma está dirigida al público en general, pero con atención especial a estudiantes universitarios de ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Aplicaciones en el Campo de las Oscilaciones Mecánicas

Dos áreas importantes, donde podemos encontrar aplicaciones es en la teoría de los campos de las oscilaciones mecánicas y eléctricas, donde un gran número de fenómenos se describen usando ecuaciones diferenciales de segundo orden, de la forma:

donde m, c y k son constantes, F(t) es una función dada y u(t) representa a la solución del modelo físico, que depende del tiempo t.

La ecuación dada en (1) describe un el movimiento o desplazamiento de un cuerpo con masa m que vibra y el cual se encuentra en el extremo de un resorte en posición vertical. Es por ello que podemos describir el fenómeno de la siguiente manera, pero antes podemos hacer una figura del fenómeno como la siguiente:

_{Imagen elaborada por @abdulmath.
En Manjaro Linux, con Karbon. Software Libre.}
Consideremos el caso primero de un alargamiento estático de un resorte de longitud l, debido a una carga de un cuerpo de masa m. Sea su enlongación denota por delta l. Así, las fuerzas que actúan sobre la masa son: la fuerza de gravedad, la cual actúa hacia abajo, y esta dada por la fórmula del peso, que describimos en la Lección #9, y la fuerza del resorte que actúa hacia arriba. Debido a que en esta posición el cuerpo se encuentra en reposo, las fuerzas son iguales en magnitud. En el caso que el desplazamiento sea pequeño en comparación con la longitud del resorte, entonces por la Ley de Hooke la fuerza es proporcional a la variación de la longitud del resorte, y por lo tanto, tiene magnitud

Ahora si el peso lo conocemos, entonces la constante de proporcionalidad la podemos calcular usando la ecuación:

Nuestro interés, es estudiar el sistema dinámico correspondiente, es decir, estudiar el movimiento de la masa cuando actúan sobre ella fuerzas externas. Para realizar la deducción hay que tener cuidado con los signos correctos en las fuerzas que actúan sobre la masa. Por convención, adoptaremos que una fuerza es positiva si apunta hacia abajo y será negativa, si esta apunta hacia arriba.

Entonces, sabemos que sobre la masa, actúan 4 fuerzas, a saber:

1. El peso, el cuál siempre actúa hacia abajo.
   
2. La fuerza del resorte, la cual es proporcional al alargamiento de su longitud y siempre actúa para regresar al resorte a su posición natural. Entonces dicha fuerza, esta dada por la ecuación siguiente:
   
   Notemos que está ecuación no solo da la magnitud sino también la dirección de la fuerza ejercida sobre la masa por el resorte en cualquier posición.
3. La fuerza de resistencia o amortiguamiento, está actúa en la dirección opuesta a la dirección de movimiento de la masa. La misma es proporcional a la rapidez, es decir, es proporcional a la magnitud de la velocidad. La constante de proporcionalidad positiva se llama constante de amortiguamiento, así esta fuerza esta dada por la ecuación siguiente:
   
4. Una fuerza aplicada F(t), que actúa dirigida hacia abajo o hacia arriba, según sea el signo de la misma.

Ahora de acuerdo a la Ley de Newton tenemos la siguiente ecuación:

Entonces al sustituir por la expresiones que mencionamos anteriormente la ecuación queda expresada de la siguiente manera:

luego si usamos la ecuación (2), entonces (5) se reduce a la ecuación diferencial dada en (1)

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Aplicaciones a Redes Electricas

Consideremos el flujo de la corriente eléctrica en un circuito sencillo en serie.

La corriente I es una función que depende del tiempo, y se mide en amperes, la resistencia R se mide en onms, la capacitancia C se mide en farads, y las inductancia L se mide en henrys, son todas positivas y en general pueden depender del tiempo y de la corriente I. El la mayoría de las aplicaciones, esta dependencia puede despreciarse; y podemos suponer que son constantes conocidas.

El voltaje aplicado E medido en volts, es una función dada del tiempo. Otra cantidad física a considerar es la carga <Q, medida en coulombs, del capacitor en cualquier instante de tiempo t. La carga Q está relacionada con la corriente I por:

Ahora bien, el flujo de corriente en un circuito como el que consideramos, se expresa por la 2da Ley de Kirchhoff:

En un circuito cerrado, el voltaje aplicado es igual a la suma de las caídas de voltaje en el resto del circuito.

Por la leyes elementales de la electricidad se sabe que:

Por lo tanto,

Como

obtenemos la ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden para Q(t)

con condiciones inicales dadas por:

Por lo tanto, debemos conocer la carga inicial en el capacitor y la corriente inicial del circuito.

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de esta 10ma y última entrega de la 1er Edición de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, de igual manera los invito para la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante e importante y de mucha aplicación en la ciencia e ingeniería. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y sus aplicaciones. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Beléndez, Augusto. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos Matemáticos de la Física. 1987.
• Hartman, Philip. Ordinary differential equations. (2002).
• Coddington, Earl A., and Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill Education, 1955.
• Boyce, William E., Richard C. DiPrima, and Charles W. Haines. Elementary differential equations and boundary value problems. Vol. 9. New York: Wiley, 1969.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, que estoy seguro serán de su interés:

Lección #1	Lección #2	Lección #3
Lección #4	Lección #5	Lección #6
Lección #7	Lección #8	Lección #9

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con
, y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}