Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias | Lección #2

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente. Este post es la segunda entrega de la serie Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, donde abordaremos el estudio de un tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias, su planteamiento y como llegar a su resolución. La misma está dirigida al público en general, pero con atención especial a estudiantes universitarios de ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 1er Orden - Variables Separables

Sea la ecuación diferencial de 1er orden siguiente:

cuando podemos reescribir esta ecuación de la forma:


donde M es una función que depende solo de la variable t y la función N depende solo de x(t), entonces decimos que (9) se reduce a una ecuación diferencial ordinaria de variables separables.

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A modo de ejemplo, si

la podemos reducir a una ecuación diferencial de variables separables, pues toma la forma


donde podemos identificar a las funciones M y N como sigue:

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Ahora, para obtener ahora las soluciones del problema (9), integramos con respecto a t, obteniendo:

donde K es una constante. Notemos que para resolver la segunda integral debemos realizar un cambio de variable


y así, obtenemos


Es fácil verificar haciendo uso del Teorema Fundamental del Cálculo que la ecuación (10) es una solución de (9). Luego, todas las soluciones de la ecuación diferencial de variables separables (9) vienen dadas por (10).

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A continuación, presentaremos un ejemplo donde mostraremos como resolver una ecuación diferencial ordinaria de variables separables.

Ejemplo: Resolver el problema

Para resolver el problema con valores iniciales, de una ecuación diferencial ordinaria de variables separables, primero debemos escribir la ecuación a la forma descrita anteriormente, como sigue:

luego integrando con respecto a t la ecuación y haciendo el mismo cambio de variable que describimos anteriormente, obtenemos:


usando la condición inicial del problema con valores iniciales dado, tenemos:


entonces


es la única solución del problema dado.

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de esta segunda entrega de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, de igual manera los invito para la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante y de mucha aplicación. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y la computación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Beléndez, Augusto. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos Matemáticos de la Física. 1987.
• Hartman, Philip. Ordinary differential equations. (2002).
• Coddington, Earl A., and Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill Education, 1955.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, que estoy seguro serán de su interés:

Lección #1

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con , y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}