Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente. Este post es la quinta entrega de la serie Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, en está oportunidad abordaremos el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo, su planteamiento y como llegar a su resolución. La misma está dirigida al público en general, pero con atención especial a estudiantes universitarios de ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Reducción del orden

El proceso de reducción de orden, como lo indica su orden, es tratar de simplificar el problema, que dada una Ecuación Diferencial Ordinaria de 2do orden a una Ecuación Diferencial de 1er orden, la manera de hacerlo, lo mostraremos a continuación, finalizando con un ejemplo práctico.

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Si conocemos una solución no trivial (distinta de cero) de la ecuación homogénea

donde

son dos funciones continuas, entonces por el método de reducción del orden, el cuál expondremos a continuación, podemos hallar otra solución del problema dado en (1), con lo que el conjunto de dos soluciones conformado por la solución inicial junto con la nueva solución que hallamos, van a constituir una base de soluciones del problema (1).

Observemos que si

es una solución de la ecuación diferencial dada en (1), entonces cualquier múltiplo escalar de esta solución, es decir,

es también una solución de la ecuación diferencial ordinaria dada en (1).

Veamos el caso general, es decir, supongamos que tenemos un múltiplo de la solución dada, de la forma siguiente:

donde la función

es una cierta función diferenciable, la cual está definida en algún subintervalo de (a,b).

Si derivamos la ecuación dada en (2), tenemos:

Supongamos ahora que

son soluciones de la ecuación diferencial ordinaria dada en (1). Luego sustituyendo estas dos últimas igualdades en la ecuación (1) y luego de algunas simplificaciones de términos se tiene que:

Como

es solución de la ecuación dada en (1), entonces la última igualdad se la podemos reducir a:


la cuál es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden en


ahora bien, sabemos que la solución de esta ecuación diferencial ordinaria de 1er orden (Lección #1) viene dada por:


simplificando está ecuación con la intención de simplificar los cálculos, obtenemos lo siguiente:


de esta manera podemos entonces expresar la solución de la siguiente manera:


Entonces,

Notemos que, para nuestro propósito, podemos prescindir de la constante C, ya que si

es una solución de (1), donde

es como la dada en (3), entonces

es también una solución del problema (1) para la función definida por:

A manera de resumen, tenemos que si

es una solución no trivial (distinta de cero) de (1), entonces


es también una solución del problema planteado en (1) si la función está definida por


donde K es cualquier constante.

Además, como

no es una función constante en (a,b) (suponga lo contrario, derive (4) y llegue a una rápida contradicción), entonces el conjunto formado por


es linealmente independiente en (a,b) y por el teorema 2 visto en la Lección #4, es una base de soluciones de (1), para la función

definida por (4).

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Ejemplo: Chequée que es una solución de la ecuación de Legendre:


y encuentre una segunda solución tal que


es linealmente independiente en el intervalo (-1,1).

Primero verifiquemos que lo cual es fácil de chequear, tenemos entonces:

así sustituyendo en la ecuación de Legendre tenemos:


por lo tanto es solución de la ecuación de Legendre.

Ahora con el objetivo de determinar p(t), debemos expresar la misma como la ecuación (1), para ello el coeficiente de la segunda derivada debe ser igual a 1. es por ello que luego de realizar dicho proceso, tenemos

entonces aplicando el método de reducción de orden, tenemos:


a continuación podemos calcular lo siguiente:


aplicando fracciones parciales a la última integral de la ecuación anterior nos queda:


por lo tanto:


de esta manera podemos expresar la segunda solución de la ecuación de Legendre por:

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de esta quinta entrega de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, de igual manera los invito para la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante e importante y de mucha aplicación en la ciencia e ingeniería. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y sus aplicaciones. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Beléndez, Augusto. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos Matemáticos de la Física. 1987.
• Hartman, Philip. Ordinary differential equations. (2002).
• Coddington, Earl A., and Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill Education, 1955.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, que estoy seguro serán de su interés:

Lección #1	Lección #2	Lección #3	Lección #4

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con
, y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}