Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente. Este post es la 7ma entrega de la serie Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, en está oportunidad abordaremos el estudio del método de variación de parámetros, para ecuaciones diferenciales ordinarias de 2do orden no homogéneas, en donde desarrollaremos el método para resolverlas, de forma general, y posteriormente mostraremos un ejemplo práctico. La misma está dirigida al público en general, pero con atención especial a estudiantes universitarios de ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 2do orden | Método de Variación de Parámetros

El método de Variación de parámetros, es usado para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogeneas de orden mayor o igual a 2, esto debido a que en el caso de orden 1, se tienen otros métodos directos para resolverlas, como lo son, factor de integración, variables separables, ecuaciones exactas. En este post desarrollaremos el caso general, y al final mostraremos un ejemplo de como usar el mismo.

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Consideremos la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden no homogénea general, dada por la ecuación siguiente:

donde


son funciones continuas y sea


la ecuación diferencial lineal homogénea asociada a (1).

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Observación: Si los coeficientes de la ecuación diferencial dada en (2) son constantes, entonces por visto en la Lección #6, es posible obtener una base de soluciones de (2). Adicionalmente, si conocemos una solución de la ecuación diferencial dada en (2) entonces también es posible obtener una base de soluciones de la ecuación dada en (2), usando el método de reducción de orden descrito en la Lección #5.

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En general no existe un método analítico para obtener una base de soluciones de la ecuación diferencial dada en (2). Pero si tenemos una tal base, entonces es posible obtener una solución particular de la ecuación diferencial mostrada en (1) usando el método de variación de parámetros, el cuál describiremos en esta Lección, y por lo tanto vamos a obtener la solución general de la ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden expresada en (1).

El método de variación de parámetros consiste en suponer que la solución particular de la ecuación diferencial dada por (1) es de la forma:

Se trata entonces de determinar las funciones


así, derivando la igualdad anterior, tenemos (suponiendo que las funciones que deseamos hallar son diferenciables):


ahora, necesitamos dos relaciones (independientes entre si) que envuelvan a


para determinar estas funciones. De esta manera, la primera de estas relaciones es imponer la siguiente condición:


Así, la ecuación derivada se reduce a:


de donde,


y como deseamos que


sea una solución particular de (1), entonces


y debido a que


satisfacen la ecuación mostrada en (2), entonces:

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones dadas en (4) y (5), obtenemos lo siguiente:

Luego,


y usando el Teorema Fundamental del Cálculo, no es difícil verificar que esta función es efectivamente un solución particular de la ecuación diferencial no homogénea dada por (1).

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Ejemplo: Resuelva el sistema

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Solución:

Primero de la primera ecuación del sistema despejamos x₂(t) y obtenemos:


y si derivamos ahora la ecuación anterior tenemos:


por lo tanto, igualando esta última ecuación obtenida con la segunda ecuación de nuestro sistema inicial obtenemos:


así usando la primera ecuación obtenida y simplificando tenemos la siguiente ecuación:


Si tomamos el caso homogéneo de la anterior ecuación diferencial, a saber:


y su solución general esta dada por


(ver Lección #6). Una solución particular de


viene dada por el método de variación de los parámetros como sigue:


donde


luego, integrando con respecto a t, ambas ecuaciones obtenemos


de esta manera una solución particular de (7) viene dada por la ecuación siguiente:


Entonces, la solución general de (7) es:


Ahora, derivando x₁(t) de la ecuación anterior y sustituyendo en la primera ecuación para x₂(t) que obtuvimos inicialmente, tenemos que la solución general de x₂(t) viene dada por la ecuación siguiente:

A modo de resumen, la solución del sistema planteado,

esta expresada de la siguiente manera:

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de esta 7ma entrega de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, de igual manera los invito para la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante e importante y de mucha aplicación en la ciencia e ingeniería. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y sus aplicaciones. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Beléndez, Augusto. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos Matemáticos de la Física. 1987.
• Hartman, Philip. Ordinary differential equations. (2002).
• Coddington, Earl A., and Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill Education, 1955.
• Boyce, William E., Richard C. DiPrima, and Charles W. Haines. Elementary differential equations and boundary value problems. Vol. 9. New York: Wiley, 1969.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, que estoy seguro serán de su interés:

Lección #1	Lección #2	Lección #3	Lección #4	Lección #5	Lección #6

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con
, y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}