Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias | Lección #3

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente. Este post es la tercera entrega de la serie Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, donde abordaremos el estudio de un tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias, su planteamiento y como llegar a su resolución. La misma está dirigida al público en general, pero con atención especial a estudiantes universitarios de ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de 1er Orden - Ecuaciones Exactas

Antes de introducir las ecuaciones exactas necesitamos recordar algunos detalles y resultados que se conocen de un curso de Análisis Real. Primeramente, veamos un caso particular; consideremos la función

la cual está definida por:


así, la derivada parcial de f con respecto a la variable t, esta dada como sigue:


adicionalmente tenemos


luego,


en consecuencia,


De forma análoga la derivada parcial de f con respecto a x es:


con


de esta manera,


por lo tanto, tenemos


así, obtenemos finalmente que:


Sin embargo, esto no ocurre de manera general, solo en el caso que la función no sea continua.

Por ello, es importante recordar los siguientes teoremas que usaremos para el desarrollo de este post.

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Enunciaremos dos teoremas, cuyos resultados usaremos en la demostración del teorema que nos permitirá construir la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias exactas. Las demostraciones las dejaremos para que el lector las pueda consultar para un mejor entendimiento del tema.

Para una demostración de este teorema, consultar:

• Smirnov, Vladimir Ivanovich. A course of higher mathematics. 1964.

Para una demostración de este teorema, consultar:

• Apostol, Tom M. Mathematical analysis. 1974.

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Ahora vamos a introducir las ecuaciones diferenciales exactas. Sea

una función continuamente diferenciable. Entonces la función


satisface la ecuación diferencial ordinaria siguiente:


la cual es una consecuencia inmediata de la aplicación de la regla de la cadena.

En otras palabras, si existe una función continuamente diferenciable

tal que se tiene


entonces, la función definida anteriormente, es la solución general de la ecuación diferencial siguiente:

Lo cual no lleva a enunciar la siguiente definición:

Para mostrar un algoritmo para resolver las ecuaciones exactas, debemos seguir la demostración del siguiente teorema:

Demostración:

Supongamos primeramente que (2) es una ecuación diferencial exacta, así, existe una función

continuamente diferenciable tal que:


luego,


de esta manera por el teorema 1,

Supongamos ahora que

Debemos construir una función en el rectángulo R que satisfaga (3). Con el objetivo de comenzar a construir la idea que cual podría ser esta función, hagámoslo de manera inversa; es decir, supongamos por un momento que se verifica (3), entonces, integrando con respecto a t la primera igualdad de (3), deberíamos tener:


donde h es una función que solo depende de x.
Si derivamos ahora (4) con respecto a x, y usando la regla de Leibniz (teorema 2), tenemos:


ahora si usamos la segunda igualdad de (3), y usando (4) tenemos:


En otras palabras, si tal función existe tal que las ecuaciones en (3) se verifican en el rectángulo R, entonces tal función debe ser la definida por la ecuación (5).

Ahora, para completar la demostración del teorema, debemos solamente chequear que la función definida por (5) debe satisfacer (3), lo cual en efecto ocurre, notemos primero que

es una función que depende solo de x, ya que su derivada con respecto a t es


la cuál es idénticamente cero por hipótesis. En consecuencia, usando la ecuación dada en (5), y por el Teorema Fundamental del Cálculo tenemos:


Por otro lado, si usamos la regla de Leibniz (teorema 2) y el Teorema Fundamental del Cálculo de la ecuación dada en (5) obtenemos:


Con lo cuál se completa la demostración del teorema.

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A continuación, presentaremos un ejemplo donde mostraremos como resolver una ecuación diferencial ordinaria exacta.

Ejemplo: Resolver el problema

Para resolver esta ecuación exacta, debemos seguir los pasos que se usaron en la demostración del teorema anterior, por ello sean

así, derivando M con respecto a x y a N con respecto a t, obtenemos:


Entonces por el teorema anterior, la ecuación dada es exacta, luego existe una función que satisface lo siguiente:

siguiendo la demostración del teorema, tenemos:



después derivando esta igualdad con respecto a x, y tomando en cuenta que


así tenemos:


de lo cual podemos deducir que


por lo tanto:

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Podemos entonces concluir que la solución general de la ecuación exacta es

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de esta tercera entrega de la serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, de igual manera los invito para la próxima entrega de esta serie, donde continuaremos tratando este tema tan interesante e importante y de mucha aplicación en la ciencia e ingeniería. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y sus aplicaciones. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias.

• Beléndez, Augusto. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos Matemáticos de la Física. 1987.
• Hartman, Philip. Ordinary differential equations. (2002).
• Coddington, Earl A., and Norman Levinson. Theory of ordinary differential equations. McGraw-Hill Education, 1955.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales, que estoy seguro serán de su interés:

Lección #1	Lección #2

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath con
, y GIMP.

_{Imagen elaborada por @abdulmath, diseñadas y editada con Karbon y GIMP.}