Algunas aplicaciones de la definición de Angulo Sólido (Parte 1)
Saludos para toda la comunidad de Steemit y muy particulares saludos para todos mis Steemians-Lectores. Nuevamente aquí estoy para presentarles un nuevo post sobre ciencia. Este post representa el penúltimo de una serie de posts que he publicado acerca de la muy importante definición de Angulo Sólido. En esta oportunidad les mostraré algunas aplicaciones de la definición de Angulo Sólido. Lo haré en dos partes, constituyendo el presente la primera de ellas. Tuve que dividirlo puesto que el contenido completo excedía el máximo de 65 kb que permite Steemit.
Para tener una excelente abordaje del material presentado en este post, les recomiendo leer previamente mis posts:
- EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 - CONOCIMIENTOS BASICOS.
- EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
- EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
- EL ANGULO SOLIDO - PARTE 4 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION).
- EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO.
- EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO.
- EL ANGULO SOLIDO - PARTE 7 - PROPIEDADES DEL ANGULO SOLIDO.
- ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA DE LAS CARAS DE UN CUBO CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN EL CENTRO DEL MISMO
- ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO DIRECTAMENTE SOBRE UNO DE SUS VERTICES.
- ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UNA PLACA RECTANGULAR CON RESPECTO A UN PUNTO SITUADO EN SU EJE DE SIMETRIA.
- ANGULO SOLIDO SUBTENDIDO POR UN DISCO CON RESPECTO A UN PUNTO QUE SE ENCUENTRA DENTRO Y FUERA DE SU EJE DE SIMETRIA.
Mis Steemians-Lectores, existe variedad de aplicaciones de la definición de Angulo Sólido. En las siguientes secciones les presentaré 3 de ellas y en el próximo post, que constituye la segunda parte del presente, les presentaré 3 más.
EN ELECTROFISIOLOGIA CARDIACA (MEDICINA)
Mis amigos Steemians, en medicina es útil la definición de ángulo sólido, por ejemplo, en Electrofisiología Cardíaca (vean las referencias 4, 6, 7, 11 y 14).
(Gif animado libre tomado de la web Gif!MAGE y GifSoup.com - Fuente
Si hay alguna técnica de diagnóstico médico que conozca gran parte de la población, mis estimados Steemians-Lectores, esa es la electrocardiográfica. Todo el mundo tiene en mente una pantalla donde se monitorizan ondas ininteligibles, asociadas en ocasiones a sonidos característicos. El electrocardiograma (ECG/EKG, del alemán Elektrokardiogramm) es la representación gráfica de la actividad eléctrica del corazón, que se obtiene con un electrocardiógrafo en forma de cinta continua, como les muestro en la figura 1. Es el instrumento principal de la electrofisiología cardíaca y tiene una función relevante en el cribado y diagnóstico de las enfermedades cardiovasculares, alteraciones metabólicas y la predisposición a una muerte súbita cardíaca. También es útil para saber la duración del ciclo cardíaco.
(De Derivative: Hazmat2Original: Hank van Helvete - Este archivo deriva de: EKG Complex en.svg - Licencia CC BY-SA 3.0 - Fuente)
El médico evalúa el electrocardiograma en función de los valores absolutos de cada tensión, el intervalo de tiempo transcurrido entre ellas, así como su "pendiente" y duración. A partir de estos valores se pueden diagnosticar muchas alteraciones patológicas del corazón. Para interpretar un ECG, el médico se ayuda de un gráfico normalizado. Las características deflexiones hacia arriba y hacia abajo de la tensión presentes en las curvas del corazón que registra el ECG se identifican con letras (observen la figura 2):
Onda P: se caracteriza por ser la primera onda pequeña semicircular y positiva situada por encima del 0. Representa la activación auricular.
Onda Q: suele ser pequeña, es decir, ni extensa ni profunda y representa la primera curva negativa después de la onda P y el final del intervalo QT. La onda Q representa el comiendo de la activación ventricular.
Onda R: siempre es corta y alta. Es la primera onda positiva después de la onda Q, así como la primera onda positiva después de la onda P si no hay onda Q. La onda R representa la activación ventricular.
Onda S: suele ser pequeña, al igual que la onda Q. Es la primera onda negativa después de la onda R y también representa la activación ventricular.
Complejo QRS: representa la propagación del estímulo, es decir, la denominada despolarización de los ventrículos. La despolarización supone la alteración del estado eléctrico (potencial) de las células cardíacas de los ventrículos. Esto se hace perceptible en el ECG mediante el complejo QRS. De modo paralelo a la despolarización de los ventrículos tiene lugar la repolarización de las aurículas. Para ello, se produce la normalización del potencial de las aurículas después del estímulo, aunque "desaparece" el impulso de la corriente en el complejo QRS y con ello, deja de aparecer en el ECG.
Onda T: es relativamente amplia, gruesa y semicircular y representa la primera deflexión positiva después del complejo QRS. Corresponde a la formación del impulso, es decir, la repolarización de los ventrículos. Tras el final de una onda T, se termina la acción eléctrica del corazón. Después de una pausa de duración determinada, comienza el siguiente ciclo. Cuanto mayor sea la frecuencia cardíaca, menor será este intervalo de tiempo.
Onda U: es una onda muy pequeña, positiva, semicircular que aparece justo después de la onda T y no siempre está presente. Corresponde a la oscilación de la repolarización de los ventrículos.
Además de la interpretación de cada onda del ECG, también se interpretan los intervalos de tiempo entre las ondas:
Segmento PQ: abarca desde el comienzo de la onda P hasta el comienzo de las ondas Q o R (cuando la onda Q no está presente). Representa el periodo de unión atrio-ventricular. Tras este término se esconde el periodo de unión del estímulo, es decir, el periodo en el que transcurre el estímulo eléctrico de las aurículas a los ventrículos.
Segmento ST: abarca desde el final de la onda S o la onda R (cuando la onda S no está presente) hasta el comienzo de la onda T. Muestra el comienzo de la repolarización ventricular. Anormalidades en este segmento pueden indicar serios problemas.
Intervalo QT: (segmento) abarca el complejo QRS, el segmento ST y la onda T. El intervalo que transcurre entre el comienzo de la propagación del estímulo hasta el final de la repolarización ventricular comprende la contracción de los ventrículos (sístole ventricular) eléctrica.
El corazón en un momento determinado tiene un número de células que se encuentran en una situación eléctrica diferente de las demás, lo que define unos límites de activación y cada uno de ellos genera un número infinito de dipolos. Para determinar la magnitud del potencial registrado en un electrodo cualquiera, es necesario sumar la contribución de todos los dipolos que hacen parte de cada límite de activación. El equivalente de esta suma será un Angulo Sólido.
.(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
El límite de la superficie (límite de activación), llamada Superficie Isquémica, está definido por las zonas del corazón con diferentes potenciales de transmembrana 
y 
(vean la figura 3). El punto observador corresponde a cualquiera de los electrodos que se colocan en la superficie corporal para registrar el ECG.
La magnitud del angulo sólido es directamente proporcional al radio de los límites de activación e inversamente proporcional a la distancia entre el corazón y el electrodo observador. Es decir, mientras más grande sea la superficie explorada (zonas con diferentes potenciales de transmembrana) mayor será el ángulo sólido y mientras más lejos se encuentre el electrodo observador de la superficie a explorar menor será el ángulo sólido. Lo anterior explica el por qué a los pacientes con enfisema pulmonar se observa un trazo electrocardiográfico característicamente de bajo voltaje (aumenta la distancia entre el electrodo del pecho y el corazón, es decir, magnitud inversamente proporcional a la distancia). Así mismo, los potenciales registrados en el ECG son directamente proporcionales al ángulo sólido y a la diferencia de potencial entre los límites de la superficie que en un momento determinado esté siendo explorada.
Existen dos formas de influir sobre el potencial obtenido en el electrodo observador:
- Modificando el tamaño de la superficie a explorar (límites de activación): si se aumenta el tamaño de la superficie isquémica se aumenta la magnitud del potencial registrado en el electrodo observador (vean la figura 4). Esto es lo que se conoce con el nombre de "influencia espacial". Es una influencia netamente geométrica e independiente del potencial de acción de las células cardíacas.
FIGURA 4: Influencia espacial: el ángulo sólido subtendido por la frontera se incrementa después de incrementar la superficie isquémica, aumentando también la desviación del segmento ST.
(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word) - Modificando la diferencia de potencial en los límites de la superficie a explorar: sin necesidad de aumentar el tamaño de la superficie isquémica, se puede aumentar la magnitud del potencial registrado con el sólo hecho de aumentar la diferencia entre los voltajes de transmembrana
de la zona a explorar, como les muestro en la figura 5. A este fenómeno se le llama "influencia no espacial", porque es independiente de la geometría cardíaca y sólo tiene que ver con el potencial de acción.
FIGURA 5: Influencia no espacial: la posición del electrodo, el tamaño de la superficie isquémica y el ángulo sólido se mantienen invariantes. Sin embargo, la diferencia de potencial entre los voltajes transmembrana se ha ampliado y se ha intensificado el flujo de corriente (flechas). Como resultado, aumenta la desviación del segmento ST.
(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
De acuerdo con lo anterior:
La magnitud de la elevación del segmento ST registrada en un electrodo durante un proceso coronario agudo, es función de: el ángulo sólido que se crea entre los límites de la superficie isquémica y la localización del electrodo (influencias espaciales) y de la diferencia de potenciales de transmembrana de la zona enferma con respecto a la normal (influencias no espaciales). |
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EN MAGNETISMO
Estimados Steemians-Lectores, el concepto de potencial es muy útil en la Física. Particularmente, en electrostática este concepto tiene dos propiedades bastante diferentes:
- La diferencia entre los potenciales de dos puntos es igual al trabajo necesario para mover una unidad de carga entre ellos.
- Simplifica los cálculos relacionados con los campos de tal manera que es posible plantearse sólo una suma de potenciales para luego derivarlo, en lugar de tener que hacer una suma separada para cada componente del campo.
En Magnetostática existe, bajo ciertas circunstancias, una función escalar que presenta la segunda propiedad antes mencionada: su gradiente proporciona el campo 
. Sin embargo, no posee una propiedad análoga a la primera debido a que dicha función escalar no es univaluada, siendo esto de poca importancia en la práctica debido a que no existen cargas magnéticas libres y raramente es necesario calcular el trabajo requerido para mover una desde un punto a otro.
La función escalar antes mencionada recibe el nombre Potencial Escalar Magnético 
. Para el caso de un circuito de corriente, el potencial es proporcional al ángulo sólido 
subtendido por el mismo con respecto al punto donde se desea calcular . Antes de mostrar esto es necesario conocer la Ley de Biot-Savart ( vean las referencias 5, 10 y 13),
originado por una corriente 
en un circuito 
, calculado en el punto .(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
Ley de Biot-Savart: en el caso de una corriente que circula por un circuito filiforme cerrado (observen la figura 6), un elemento infinitesimal de longitud 
del circuito recorrido por una corriente , crea una contribución elemental de campo magnético 
en un punto situado en la posición que apunta el vector 
a una distancia 
respecto de , quien apunta en la dirección de la corriente ,
donde 
(en el SI) es la permeabilidad magnética del vacío.
Esta ley, que data de 1820 y es llamada así en honor de los físicos franceses Jean-Baptiste Biot y Felix Savart. Puesto que la corriente y, en consecuencia, el campo no son funciones del tiempo, este último es llamado Campo Magnetostático. Es una de las leyes fundamentales de la Magnetostática, tanto como la Ley de Coulomb lo es en Electrostática.
una cantidad 
manteniendo fija la posición del circuito, es equivalente a mover todo el circuito (o cada uno de sus puntos) una cantidad 
manteniendo fijo, de aquí que se genere una superficie semejante a una cinta como la indicada por la zona rayada. (b) Pequeña superficie 
en forma de cinta mostrada por la zona sombreada.(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
Ahora bien mis estimados Steemians-Lectores, consideremos nuevamente un circuito de corriente de cargas como el que les muestro en la figura 6. Para definir la normal positiva a la superficie que encierra el circuito se hace que la dirección de la corriente lleve la misma que indica un tornillo de rosca derecha en su avance. Si se desplaza una distancia infinitesimal , a partir de la forma integrada de (1) es posible escribir (vean la referencia 3),
Mover una cantidad manteniendo fija la posición del circuito, es equivalente a mover todo el circuito (o cada uno de sus puntos) una cantidad manteniendo fijo, de aquí que se genere una superficie semejante a una cinta como la indicada por la zona rayada en la figura 7(a). El valor del miembro derecho de (2) permanece constante si primero se evalúa la integral y después se efectúa el producto escalar con o al efectuar primeramente el producto escalar del integrando 
con y después evaluar la integral alrededor de todo el circuito, por lo que es posible escribir (2) ahora como,
Mis Steemians-Lectores, después de unos cálculos sencillos se llega a que,
La expresión 
es un vector que representa la pequeña superficie en forma de cinta que les muestro en la zona sombreada de la figura 7(b),
en la que 
representa la proyección de sobre un plano perpendicular a . Entonces, es posible escribir ahora el integrando de (5) como,
donde he usado la definición de ángulo sólido dada por (5) en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6 - EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO. Aquí 
representa el ángulo sólido subtendido por la superficie 
con respecto al punto . Por lo tanto, la integral sobre el circuito cerrado proporciona el ángulo sólido completo subtendido por la cinta.
subtendido por la superficie con respecto al punto donde es calculado el campo .(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
La interpretación de (7) es clara: cuando es desplazado , el ángulo sólido subtendido por todo el circuito con respecto a cambia . Equivalentemente, si se mantiene fijo y se mueve cada punto del circuito (esto es desplazar el circuito entero) entonces el cambio en el ángulo sólido es igualmente . El ángulo sólido se los muestro en la figura 8, donde representa la disminución del ángulo sólido completo subtendido con respecto a , lo cual ocurre cuando se mueve una distancia con respecto al circuito o cuando el circuito se mueve con respecto a . Por lo tanto es posible escribir,
de donde, después de algunas consideraciones y sencillos cálculos, se llega finalmente a,
que representa la forma de ángulo sólido de la Ley de Biot-Savart o Ley de Ampere. Esta expresión también puede ser escrita como,
con,
que es el Potencial Escalar Magnético. La dirección de es la de 
, de modo que apunta hacia afuera del circuito a lo largo de su normal positiva. Si dos circuitos de corriente idénticos están muy cercanos el uno del otro, pero transportan corrientes en direcciones opuestas, es claro que los campos que producen se cancelarán mutuamente.
EN RADIACION
Amigos Steemians, la definición de ángulo sólido es fundamental en el estudio de la radiación pues es útil para definir algunas magnitudes que se emplean para el estudio de la misma.
INTENSIDAD RADIACION
Antes de definir la Intensidad de Radiación es necesario definir: Potencia de radiación y la densidad de flujo radiante.
(a) Flujo de Radiación o Potencia de Radiación :
Es la cantidad de energía radiante 
emitida en el espacio por una fuente luminosa por unidad de tiempo,
Su unidad de medida es el 
.
(b) Densidad de Flujo Luminoso 
:
Es la potencia por unidad de superficie,
y es la parte de la potencia de radiación total emitida por una fuente de luz que es capaz de afectar el sentido de la vista. Su unidad de medida es el 
.
.(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
La Intensidad de Radiación (brillo), observen la figura 9, es una magnitud que define la cantidad de energía por unidad de tiempo (potencia) que llega desde una dirección dada, desde una fuente extendida (no puntual). Esta magnitud se determina mediante,
donde: 
es la superficie colectora de energía, perpendicular a la dirección de medición (metros cuadrados); es el ángulo sólido (estereorradián); 
es el tiempo y es la energía que entra en el cono proveniente de la dirección seleccionada (joules). En esta expresión se observa claramente la importancia que tiene el concepto de ángulo sólido en la definición de la intensidad de radiación, dotándola de direccionalidad.
La unidad de intensidad de radiación es 
.
La intensidad de radiación, al usar (12), también puede ser obtenida mediante,
definiéndola como la potencia óptica emitida por unidad de ángulo sólido , por unidad de superficie de la superficie emisora . Y al usar (13) mediante,
Para tener una idea gráfica de cómo se puede medir la intensidad de radiación proveniente de varias direcciones, se puede pensar que cuando se observa una fotografía, las áreas más brillantes de la figura corresponden a las direcciones de mayor Intensidad de radiación y viceversa para las oscuras. Con esto, queda claro que la intensidad de radiación es lo que normalmente se denomina "brillo superficial". La Intensidad de radiación sólo tiene sentido para superficies radiantes. Cuando se trata de fuentes puntuales la definición carece de sentido pues el angulo sólido subtendido por la fuente tiende a cero (en este ángulo está en el denominador).
es la medida de la potencia radiante que pasa por la superficie desde todo el espacio circundante. Aquí se supone que debajo de no hay fuentes.(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
La potencia radiante proviene desde distintas fuentes que presentan sus propias intensidades de radiación, como les muestro en la figura 10. Si las fuentes poseen tamaños aparentes (ángulos sólidos) pequeños, se puede evaluar la densidad de flujo como,
Cada fuente individual contribuye con su densidad de flujo parcial. El factor 
tiene en cuenta la inclinación de la fuente radiante respecto a la normal 
a la superficie colectora.
Si una fuente de gran intensidad de radiación ( grande) se aleja mucho del observador como para hacer que su ángulo sólido 
, pero el producto 
no se hace cero, se está ante lo que llama "Fuente Puntual". Un ejemplo lo puede proveer una estrella, ya que su tamaño no es apreciable 
, ni con telescopios y sin embargo su brillo superficial (intensidad de radiación) es suficientemente grande para que el producto sea el adecuado para que la estrella pueda ser vista.
INTENSIDAD DE RADIACION MEDIDA A UNA DISTANCIA d DE LA SUPERFICIE DE UN CUERPO NEGRO:
Estimados Steemians-Lectores, en un experimento se coloca una superficie emisora 
de un cuerpo negro a una distancia 
de una superficie receptora 
paralelas entre sí, a fin de medir la intensidad de radiación, como les muestro en la figura 11(a). Se utilizará el subíndice para indicar la superficie receptora y el 
para indicar la emisora.
con respecto a la superficie emisora . (b) Angulo sólido subtendido por la superficie emisora con respecto a la superficie receptora .(Imagen realizada por mi persona, @tsoldovieri, usando las aplicaciones Paint y Word)
La potencia 
que llega a la superficie receptora desde la superficie emisora , según (15), es obtenida mediante,
pero de la definición de ángulo sólido (1) dada en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO,
que es el ángulo sólido subtendido por visto desde , como les muestro en la figura 11(a). Entonces, al sustituir (19) en (18) resulta,
pero, al aplicar nuevamente la definición de ángulo sólido (1) dada en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 5 - DEFINICION DE ANGULO SOLIDO se puede escribir que,
en correspondencia con la figura 11(b). Entonces, al sustituir esta expresión en (20) resulta,
Ahora, al sustituir (22) en (13) da como resultado,
de aquí que, finalmente, la intensidad de radiación percibida por (el brillo) es,
lo cual significa que, el brillo percibido desde un emisor de superficie extendida es independiente a la distancia a él.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA Y RECOMENDADA
Aquí les presento, mis Steemians-Lectores, 17 textos (libros de texto y artículos científicos) que consulté para la elaboración del presente post.
- Soldovieri C., T. & Viloria A., T. EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES. Preprint, 2018.
- Cosenza, M. MECANICA CLASICA. Universidad de los Andes (ULA). Facultad de Ciencias. Departamento de Física. Mérida - Venezuela (Publicación Electrónica), 2015. Notas de clases, versión A-2015. pp. 133-141 http://www.ciens.ula.ve/cff/caoticos/PDFs/guiaMecanicaClasica.pdf.
- Singh, S. ELECTROMAGNETICS. Discovery Publishing House PVT. LTD., 1st edition, 2009. pp. 169 - 174.
- Portillo M., M. ELECTROCARDIOGRAFIA: TECNICA DE INTERPRETACION BASICA. VI Foro de Pediatria de Atencion Primaria de Extremadura, pp 57 - 73, Abril 2009.
- Hayt, W. H. Jr. & Buck, J. A. TEORIA ELECTROMAGNETICA. McGRAW-HILL Interamericana, México, 7ma edition, 2006. pp. 210 - 218.
- Uribe A., W.; Duque R., M. & Medina D., E. ELECTROCARDIOGRAFIA Y ARRITMIAS. P.L.A. Export editores Ltda., Bogotá D.C. Colombia, 2005.
- Cárdenas, M. INFARTO POSTERIOR (DORSAL) E INFARTO DEL VENTRICULO DERECHO. Archivos de Cardiología de México, 74(1):38 – 43, Enero-Marzo 2004.
- Greiner,W. CLASSICAL MECHANICS. SYSTEMS OF PARTICLES AND HAMILTONIAN DYNAMICS. Springer-Verlag New York, Inc., 2003. pp. 51 - 55.
- Knoll, G. F. RADIATION DETECTION AND MEASUREMENT. John Wiley & Sons, Inc., 3rd edition, 2000. pp. 1 - 27, 103 - 127.
- Paul, C. R.; Whites, K.W. & Nasar, S. A. INTRODUCTION TO ELECTROMAGNETIC FIELDS. WCB/McGraw-Hill, 3rd edition, 1998. pp. 110 - 117 200 - 201.
- Okin, P. M. & Kligfield, P. SOLID ANGLE THEORY AND HEART RATE ADJUSTMENT OF ST-SEGMENT DEPRESSION FOR THE IDENTIFICATION AND QUANTIFICATION OF CORONARY ARTERY DISEASE. American Heart Journal, 127(3):658 – 667, March 1994.
- Kaufman, A. A. GEOPHYSICAL FIELD THEORY AND METHOD - GRAVITATIONAL, ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS, volume A. Academic Press, INC., 1992.
- Griffiths, D. J. INTRODUCTION TO ELECTRODYNAMICS. Prentice Hall, Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 1981. pp. 215 - 220.
- Holland, R. P. & Arnsdorf, M. F. SOLID ANGLE THEORY AND THE ELECTROCARDIOGRAM: PHYSIOLOGIC AND QUANTITATIVE INTERPRETATIONS. Progress in Cardiovascular Diseases, 19(6):431 – 457, June 1977.
- Faget, J. & Mazzaschi, J. TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES, volume 1. Editorial Reverté, S.A., 1976. pp. 121 - 135.
- Eyges, L. THE CLASSICAL ELECTROMAGNETIC FIELDS. Dover Publications, 1972.
- Crouthamel, C. E. APPLIED GAMMA-RAY SPECTROMETRY. Pergamon Press, 2nd edition, 1970.
Estimados amigos Steemians-Lectores. Espero que la anterior información les sea de mucha utilidad. Como ya es costumbre, si tienen preguntas no duden en hacérmelas llegar pues, con mucho gusto, les atenderé. Igualmente, si tienen detalles que puedan nutrir o mejorar la anterior información, por favor, háganmelas saber. Hasta mi próximo post ¡Saludos a todos! 😁.
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Hola @tsoldovieri que bueno conocer algunos ámbitos de aplicación del concepto matemático de ángulo sólido que viene desarrollando con tanta dedicación en sus publicaciones anteriores, como educadora en Matemática es importante conocer la diversidad de aplicaciones de mi área disciplinar de manera que pueda explicar con ejemplos palpables a mis estudiantes, lo cual hace que su publicación sea considerada como referencia por todos aquellos que enseñamos Matemática. Es tan amplio lo que se puede aprender de ella que no solo enseñamos sino que aprendemos nuevas cosas cada día, espero seguir leyendo sus valiosos aportes! Saludos fraternos!!
Gracias por tu muy motivador comentario y por tu apoyo amiga y colega @reinaseq. Es muy grato recibir este tipo de comentarios. Gracias por considerar mi trabajo como referencia. Saludos fraternos para ti también!!.
COMO DICEN LOS MARACUCHOS, VERGACIÓN ...
Muy bueno, excelente.
SALUTATIONS DU VENEZUELA
Greetings from Venezuela
jajajajaja gracias @soy-venezuelien. Saludos.
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Thanks!.
excelente contenido @tsoldovieri , es muy extenso y aprendí algunos términos que desconocía. Gracias por publicarlo
Gracias amigo y colega @germanmontero. Me alegra que mi trabajo te haya servido. Saludos.
Hola @tsoldovieri. Excelente tu aporte, sobre todo para los No-Físicos, que a veces les cuesta procesar eso de un "angulo-solido"...
Exitos
¡Así es!
Muchas gracias por su comentario y apoyo, amigo y colega @jfermin70
Saludos.
Excelente material profesor @tsoldovieri, siempre he dicho que los post matemáticos que contenga ecuaciones son algo pesados para la mayoría de los lectores en steemit, sin embargo en esta ocasión es todo lo contrario. Antes de comenzar el desarrollo matemático explicas detalladamente en que se fundamenta este post para que sirven las ecuaciones del ángulo sólido y que aplicaciones tiene, en este caso en el área de la salud específicamente en electrocardiogramas y aparte cada figura presenta una leyenda indicando que significa siempre dando créditos a su autor original.
De esto se trata este tipo de publicaciones que sean digeribles de fácil comprensión para toda los lectores en la comunidad, por eso tomo como ejemplo este post para que los demás autores dedicados a las matemáticas sigan este camino. Buen trabajo!
Muchísimas gracias por el apoyo @carloserp-2000 y muchas más gracias por el muy orientador comentario que haces de mi post. Me causa alegría que te haya gusta. Mis saludos cordiales.
Muchas personas no tenemos idea de lo que hay detrás de todos los aparatos tecnológicos que se utilizan en diferentes ramas de la ciencia. No tenia conocimiento alguno que nuestro electrocardiograma, un equipo que utilizo prácticamente a diario presenta este tipo de temas, es decir, ecuaciones matemáticas impresionantes que describes en tu post. Es fascinante poder aprender cosas nuevas cada día por eso adoro esta comunidad.
Amiga @anaestrada12, así es!.
Existe mucha Física y Matemática detrás de los electrocardiogramas. Me causa mucha satisfacción que te haya gustado mi post. Gracias por tu excelente comentario y apoyo. Saludos cordiales.
Es excelente lo que escribes espero poder seguir leyendo este tipo de material único..De nuevo felicidades!
Gracias @anaestrada12.