Para todos los Steemians de esta gran comunidad de Steemit, cordiales y muy respetuosos saludos de mi parte!. Continuando con mi serie de posts dedicados a la definición de ANGULO SOLIDO, en el presente les muestro LA EXPRESION DIFERENCIAL E INTEGRAL DEL ANGULO SOLIDO. Todos estos posts los voy presentando de una manera pausada ya que requieren de considerable trabajo de edición de texto y creación de figuras. TODAS LAS IMAGENES AQUI PRESENTADAS SON COMPLETAMENTE DE MI AUTORIA.

Supóngase ahora que se tiene una superficie plana muy pequeña , representada vectorialmente por el vector perpendicular a ella, que está situada a una distancia R de un punto fijo P y que está posicionada mediante el vector con respecto al mismo. El vector es un vector unitario en la dirección de , es decir, .

Gráficamente, igual que antes, el ángulo sólido subtendido por dS con respecto al punto P se obtiene al trazar semirrectas desde este punto tocando dS sin pasar por su interior, como se muestra en la figura 1. De esta manera se obtiene una superficie cónica cuya abertura interior representa el ángulo sólido buscado, superficie que suele llamársele Cono Elemental, por ser dS una superficie elemental o diferencial. Por la misma razón, el ángulo sólido subtendido es también elemental o diferencial y será denotado como .

Para encontrar el valor numérico de es necesario usar la definición,

vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 y, como ya se sabe de la sección antes mencionada, debe emplearse el procedimiento representado en la figura 2. Es decir, se dibuja una esfera unitaria auxiliar con centro en P, sobre la cual el cono intercepta una superficie y otra esfera con centro en el mismo punto pero con radio igual a la distancia R entre P y dS, sobre la cual el cono intercepta una superficie . Estas dos superficies son homotéticas, siendo la segunda numéricamente igual al ángulo sólido buscado y la primera, aquella que debe ser sustituida en la ecuación 1. Entonces,

Ahora para encontrar es necesario conocer el valor de , que (al igual que ) es un sector esférico diferencial. Obviamente, un vector normal al mismo.

Es posible aproximar, como se muestra en la figura 3, el valor de la superficie de este sector esférico (por su condición diferencial) mediante una superficie diferencial plana perpedicular a y, por ende, tangente a dicho sector,

En general (La superficie puede ser considerada esencialmente plana debido a que es muy pequeña y, por ende, es suficiente un único ángulo para indicar su orientación) la superficie formará un ángulo con y, por lo tanto, con la . Entonces,

de manera que, en vista de este resultado y de la ecuación 3, la ecuación 2 puede ser escrita finalmente como,

que es la expresión diferencial buscada. Para determinar el ángulo sólido subtendido por una superficie S es necesario integrar sobre toda ella la ecuación 5 resultando,

siendo la expresión integral buscada y que puede tomarse como definición formal del ángulo sólido bajo el cual se ve la superficie S desde un punto de referencia P. Aquí es cada vector con origen en P y extremo en un punto de cada .

En el caso de que el punto P no se encuentre en el origen del sistema de coordenadas escogido sino que se encuentra a una posición de éste (ver figura 4), el ángulo sólido vendrá dado por la expresión,

que en función del vector se puede escribir como,

que es la misma definición dada por la ecuación 6.

El factor en el integrando de la ecuación 8 permite relacionar a la superficie proyectada con una superficie definida en la esfera de radio unidad (esfera auxiliar) mediante una homotecia con centro en , es decir, con centro en el centro de la mencionada esfera.

Es mi muy sincero deseo que la anterior información les sea muy útil. Sé que dentro de la comunidad de Steemit existe una enorme cantidad de estudiantes de carreras afines a la ciencia, a los cuales esta información puede ser de gran utilidad. El próximo de esta serie se referirá a las Propiedades del Angulo Sólido.
Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! 😁.