Cordiales y muy afectuosos saludos a toda la comunidad de Steemit. Aquí estoy muy contento por la aceptación que han comenzado a tener mis publicaciones relacionadas con la ciencia, lo cual me incentiva a trabajar mucho más fuerte por crear publicaciones de calidad. Gracias a todos por su gran apoyo, muy especialmente @steemstem. Agradezco @steemstem por crear el tag stem-espanol que facilita el trabajo de nosotros los hispanoparlantes. Continuando con mi serie de posts dedicados a la definición de ANGULO SOLIDO, en el presente les muestro LAS PROPIEDADES DEL ANGULO SOLIDO. Todos estos posts los voy presentando de una manera pausada ya que requieren de considerable trabajo de edición de texto y creación de figuras. Es importante destacar que TODAS LAS IMAGENES AQUI PRESENTADAS SON, COMPLETAMENTE, DE MI AUTORIA. Disculpen lo extenso y por el abundante contenido matemático, pero es completamente necesario para lograr un excelente entendimiento de las propiedades del Angulo Sólido.

El Angulo Sólido posee algunas propiedades interesantes. Estas son las siguientes:

Esta propiedad es debida a la homotecia vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1. Al igual como ocurre con los ángulos planos, si con centro en el punto de la figura 1 se traza una esfera auxiliar de radio , se obtiene una superficie de manera que su cociente da como resultado la medida del ángulo sólido subtendido por el rectángulo con respecto a dicho punto. Si para la misma disposición se traza una nueva esfera auxiliar de radio con centro en se obtiene una superficie dando su cociente como resultado la misma medida y así sucesivamente, es decir,

Considérese la figura 2. En esta figura es una superficie abierta cuyo ángulo sólido subtendido con respecto a se desea calcular. Para hacer esto, como ya se vio antes, se posiciona una esfera auxiliar de radio de tal manera que su centro coincida con y luego se trazan líneas rectas desde hasta el perímetro de , generándose así un cono con vértice en el mencionado punto. La intersección de las líneas rectas con la superficie de la esfera origina el perímetro que da forma a la superficie sobre la superficie de la misma. La superficie (representada por la zona con entramado) es la formada por la superficie más la superficie de la pared del cono que se encuentra entre el perímetro de y el perímetro de , es decir,

Las superficies y poseen el mismo perímetro con respecto a , así mediante la propiedad anterior es posible escribir que,

y además, las superficies y poseen el mismo perímetro con respecto a pudiéndose escribir,

entonces de este resultado y de la ecuación 4 se puede concluir que,

El ángulo sólido se obtiene como,

a partir de la definición de ángulo sólido vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6. Pero aquí por estar sobre la esfera auxiliar. Supóngase ahora que la esfera es unitaria, es decir, . Entonces, es un vector unitario para perpendicular a y, por ende, paralelo a . Por lo tanto,

resultando a partir de la ecuación 6 que,

de donde,

Finalmente, al sustituir el resultado dado por la ecuación 9 en la ecuación 5 se obtiene,

como se quería mostrar.

Por el anterior resultado se puede decir que,

En la figura 3, las superficies abiertas tienen todas curvas perimetrales inscritas en un cono común que tiene vértice en , por lo que todas subtenderán un mismo ángulo sólido con respecto a dicho punto. Es decir,

Lo anterior se representa gráficamente en la figura 4(a), para el caso en que la intersección se dé entre y la superficie y en la figura 4(b), para el caso en que la intersección se dé más allá de .

Como la superficie resultante de la intersección está inscrita en el cono generado por con respecto a , entonces por la propiedad 3 resulta que,

Considérese la figura 5. En dicha figura se muestran dos superficies y que poseen el mismo perímetro con respecto al punto y que juntas forman la superficie cerrada . El perímetro está determinado por todos los puntos de tangencia de la superficie cónica sobre la superficie cerrada .

En el caso de la superficie , su diferencial de superficie apunta hacia adentro de y en el caso de , su diferencial de superficie apunta hacia afuera de la misma. Si el diferencial de superficie de es definido de tal manera que apunte siempre hacia afuera de la misma, entonces el ángulo sólido total vendrá dado por,

donde se ha usado la definición de ángulo sólido vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 6. Pero a partir de Teorema de Divergencia Gauss (ver referencia 5),

donde es el volumen encerrado por con fuera del mismo. Para resolver la integral de la derecha, se desarrollará primero su integrando. En efecto,

puesto que . Pero,

ya que y . Entonces, al sustituir la ecuación 16 en la ecuación 15 resulta,

de donde,

Ahora, si se sustituye este resultado en la ecuación 14 se obtiene,

que al ser sustituida en la ecuación 13 da como resultado final que,

de donde,

Esta propiedad es consecuencia de la propiedad 5 y está demostrada por la ecuación 19. La situación descrita se muestra en la figura 6, donde la curva perimetral está formada por todos los puntos tangentes sobre de las semirrectas que parten de y pasan por los bordes de la misma. Nótese que, nuevamente, se tiene la situación representada en la figura 4 por lo que,

Se tiene una superficie cerrada como la mostrada en la figura 7(a) y se desea calcular el ángulo sólido por ella subtendido con respecto al punto que se encuentra en su interior.

Procediendo de la forma ya descrita, se dibuja una esfera auxiliar unitaria () en su interior con centro en y se procede a proyectar sobre la superficie de la misma, como se muestra en la figura 7(b). Obviamente esta proyección da como resultado toda la superficie de la esfera auxiliar. Entonces por la propiedad 5 se tiene que,

pero,

por ser unitaria. Entonces, al sustituir este resultado en la ecuación 23 se obtiene finalmente,

A partir de la figura 8 es realmente obvio llegar a la conclusión de que,

Como lo he dicho en los posts anteriores, es mi muy sincero deseo que la anterior información les sea muy útil. Sé que dentro de la comunidad de Steemit existe una enorme cantidad de estudiantes de carreras afines a la ciencia, a los cuales esta información puede ser de gran utilidad. El próximo de esta serie se referirá a las Diferenciales notables de ángulo sólido.
Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! 😁.