Cordiales y muy respetuosos saludos de mi parte para todos los Steemians de esta gran comunidad de Steemit!. Con el presente post sigo adelante con mi serie de posts dedicados a de una forma clara y sencilla la definición de ANGULO SOLIDO. Todos estos post los voy presentando de una manera pausada ya que requieren de considerable trabajo de edición de texto y creación de figuras.

Ya en este post les presento finalmente la tan esperada Definición de Angulo Sólido.

Así como para toda definición matemática y su posible uso en otras ciencias, por ejemplo en la Física, es necesario entenderla lo mejor posible para así poder comprender a profundidad todas aquellas cantidades en las cuales están involucradas.

Se presentará la definición matemática conocida como El Angulo Sólido, que tiene numerosas aplicaciones en el campo de la Física, algunas de las cuales serán abordadas más adelante. Esta definición suele ser tratada con poca generosidad en los textos en los cuales está involucrada. En general, se le dedican pequeñas secciones y a lo más un capítulo muy resumido (ver referencias 3, 4, 5 y 6). Por esta razón esta definición se intentará presentar con la mayor claridad posible para que así el lector logre entenderla y tener una idea bien clara al respecto.

De la misma manera como se puede definir un ángulo plano como la relación entre la logitud del arco que se origina entre dos semirrectas que se interceptan y el radio de la circunferencia auxiliar usada, también existe una definición similar para un ángulo en tres dimensiones.

Supóngase ahora que se tiene una superficie abierta en el espacio y un punto P externo a la misma. Entonces al trazar semirrectas que partan desde el punto P y toquen sin pasar a través de la misma (se pueden dibujar infinitas semirrectas), se genera un ángulo poliedro de infinitas caras, es decir, una superficie cónica como se muestra en la figura 1. De aquí en adelante a este ángulo poliedro se le dará el nombre de Angulo Sólido (en realidad a todos los ángulos poliedros se les denominan también ángulos sólidos), siendo el subtendido por con respecto al punto P.

Siguiendo operaciones semejantes a las del caso plano, si se dibuja una esfera auxiliar de radio R con centro en el punto P, ésta intercepta a la superficie cónica generando un sector esférico de superficie S como se muestra en la figura 2. La superficie S así obtenida y son homotéticas entonces debe cumplirse la relación,

vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2. La cantidad ahora tiene un significado particular pues es la medida del ángulo sólido antes mencionado. De esta manera,

Obviamente, aquí se cumplirá la propiedad,

vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 2, siendo ésta la que justifica el usar la ecuación 2 como medida del ángulo sólido.

En palabras:

También el número real en la ecuación 2 es adimensional al igual que vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 pero, debido a que sirve para identificar un ángulo sólido, el Sistema Internacional de Unidades le atribuye la unidad Estereorradián (El nombre se deriva del griego stereos para "sólida" y el radio en latín significa "rayo"), el cual se simboliza como sr. De forma análoga a la definición de 1 radián,

Matemáticamente se escribe,

en concordancia con la figura 3(a).

Esta unidad derivada del Sistema Internacional de Unidades (conocido por las siglas SI) no proviene del nombre propio de una persona, por lo cual su nombre (estereorradián) y su símbolo (sr), se escriben con minúscula salvo en el caso de que inicie una frase o un título. Es fácil deducir, a partir de la ecuación 2, que una esfera completa abarcará un ángulo sólido,

Al igual que se pueden convertir radianes a grados, también puede convertir de estereorradianes a "grados cuadrados". Si se tiene un cuadrado sobre la superficie de una esfera cuyos lados son arcos s de circunferencia correspondientes cada uno a un ángulo plano α, como se muestra en la figura 3(b), entonces la superficie S del cuadrado viene dada por,

entonces al sustituir s de,

vista en el post EL ANGULO SOLIDO - PARTE 1 resulta,

y al sustituir este resultado en la ecuación se obtiene finalmente el ángulo sólido,

que relaciona el radián con el estereorradián. De aquí se deduce que,

y como,

entonces,

Al igual que para los ángulos planos, se puede hablar de orientación con respecto a los ángulos sólidos. Por convenio, se dice que el ángulo sólido es positivo si desde el punto P se divisa la cara negativa (cóncava) de la superficie que subtiende el mismo. El ángulo sólido será negativo si desde P se divisa la cara positiva (convexa) de la superficie.

Como de costumbre, espero que la anterior información les sea muy útil. Sé que dentro de la comunidad de Steemit existe una enorme cantidad de estudiantes de carreras afines a la ciencia, a los cuales esta información puede ser de gran utilidad. El próximo de esta serie se referirá ya a la Expresión diferencial e integral del Angulo Sólido.
Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! 😁.