Saludos Steemians!. El presente post es el cuarto de una serie dedicados a mostrar de una forma clara y sencilla la definición de ANGULO SOLIDO, presentando las necesarias ecuaciones y definiciones matemáticas.

Continuando con los conocimientos básicos que se deben tener para un buen entendimiento de la definición de Angulo Sólido y cómo se calcula, en este post les hablaré de los Triángulos Esféricos y la trigonometría básica relacionada.

La intersección de una esfera con un plano genera una circunferencia (ver figura 1). Se generará la mayor circunferencia posible, denominada Circunferencia Máxima, cuando el plano se hace pasar por el centro de la esfera. Al resto de las circunferencias, es decir, aquellas que se generan por la intersección de planos que no pasan por el centro, se les denominan Circunferencias Menores. Una circunferencia máxima divide a la esfera en dos hemisferios iguales.

Dadas dos circunferencias máximas de una superficie esférica, éstas siempre se cortan en dos puntos que son los extremos de un diámetro de la esfera; en efecto, los planos que determinan las dos circunferencias máximas se cortan en una recta que pasa por el centro de la esfera, es decir, en un diámetro, luego los extremos del mismo son los puntos en que se cortan las circunferencias máximas.

Los lados de un triángulo esférico se miden, por conveniencia, mediante el ángulo plano que subtienden y no por su longitud. En caso de que se desee conocer la medida de longitud del arco, sólo habrá que multiplicar por el radio de la esfera.

Como se muestra en la figura 3(b), al arco de circunferencia máxima perpendicular al arco BC y que pasa por A se le llama Altura Esférica AD del triángulo y se designa por ; al que pasa por B perpendicularmente al arco AC se le llama altura esférica BF del triángulo y se designa por ; y finalmente al que pasa C perpendicularmente al arco AB se le llama altura esférica CG del triángulo y se designa por . Como puede notarse, las alturas esféricas también se miden por el ángulo plano que subtienden y no por su longitud.

Cuando se unen mediante rectas, véase la figura 4, el centro 0 de la esfera con los vértices de un triángulo esférico ABC se forma un ángulo triedro 0A′B′C′ que se denomina ángulo triedro asociado al triángulo esférico. Los lados a, b y c del triángulo esférico son precisamente los ángulos de las caras del mismo y los ángulos internos , y de dicho triángulo esférico, son sus ángulos diedros.

Ahora, en vista de lo anterior, es posible decir que,

Es evidente que las medidas de los ángulos de las caras del ángulo triedro así como las de sus ángulos diedros son independientes del radio de la esfera, por lo tanto, las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico también lo son, por esta razón suele considerarse en general la esfera unitaria para el estudio de este tipo de triángulos.

Como se sabe, la suma de los ángulos internos de un triángulo plano (Geometría Euclídea) suman rad. En en caso de un triángulo esférico la suma de estos ángulo es siempre superior a dicha cantidad. En verdad se puede demostrar que en un triángulo esférico los ángulos internos , y cumplen que,

Matemáticamente se obtiene mediante,

Por otro lado, la superficie de un triángulo esférico viene dada por el llamado Teorema de Girard, cuyo enunciado es el siguiente:

Si R es el radio de una esfera y , y son los ángulos internos de un triángulo esférico (medidos en radianes) cuyos lados son arcos de circunferencias máximas de dicha esfera, entonces la superficie S de dicho triángulo vendrá dada por la expresión,

Al usar la ecuación 2, la ecuación 3 puede escribirse también como,

El anterior teorema es bastante sencillo de demostrar. Demostraciones de este teorema se pueden encontrar en las referencias 3,4 y 5. En el caso de que la esfera sea unitaria resulta,

resultado que será útil más adelante para calcular el ángulo sólido subtendido por un triángulo esférico con respecto a un punto.

Las demostraciones de las relaciones aquí presentadas pueden verse en las referencias 3, 5 y 6.

En todo triángulo esférico, los senos de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos,

Esta relación permite calcular un lado o un ángulo, conocido su lado o ángulo opuesto y otro par de elementos opuestos.

En todo triángulo esférico, el coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos lados, más el producto de los senos de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos,

En todo triángulo esférico el coseno de un ángulo interno es igual a menos el producto de los cosenos de los otros dos ángulos, más el producto de los senos de los mismos ángulos por el coseno del lado adyacente a ambos,

En todo triángulo esférico la cotangente de un lado por el seno del otro es igual al coseno de éste por el coseno del ángulo comprendido entre ambos lados, más el seno de este ángulo por la cotangente del ángulo opuesto al primer lado,

Para comodidad de operación se han derivado, de los anteriores teoremas, una gran variedad de relaciones trigonométricas. En lo siguiente, se presentan algunas que serán de utilidad más adelante.

que proviene, por ejemplo, de combinar las expresiones 44 y 57 (páginas 24 y 26) de la referencia 5, cuyas demostraciones aparecen como ejercicio.

donde,

es el semiperímetro del triángulo esférico. Estas relaciones permiten calcular los ángulos internos de un triángulo esférico, conocidos los tres lados o el semiperímetro y dos lados.

que provienen, por ejemplo, de las expresiones 351 y 359 (páginas 86 y 87) de la referencia 5, cuyas demostraciones están presentes.

Espero que la anterior información les sea muy útil. El próximo de esta serie se referirá ya a la Definición de Angulo Sólido.
Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! 😁.