EL ANGULO SOLIDO - PARTE 3 - CONOCIMIENTOS BASICOS (CONTINUACION)

tsoldovieri (60)in #spanish • 6 years ago (edited)

Calurosos y respetuosos saludos para todos los Steemians!. El presente post es el tercero de una serie dedicados a mostrar de una forma clara y sencilla la definición de ANGULO SOLIDO, presentando las necesarias ecuaciones y definiciones matemáticas.

POSTS ANTERIORES:

Imagen alusiva a la definición de Angulo Sólido y sus aplicaciones.

Continuando con los conocimientos básicos que se deben tener para un buen entendimiento de la definición de Angulo Sólido y cómo se calcula, en este post les hablaré de La Superficie y su representación vectorial.

LA SUPERFICIE Y SU REPRESENTACION VECTORIAL

Se entiende como superficie al objeto geométrico que posee dos dimensiones, es decir, cada uno de sus puntos espaciales de tres coordenadas se puede definir usando sólo dos parámetros. También es posible definirla como el lugar geométrico de las posiciones sucesivas de una línea (generatriz) que se mueve en el espacio siguiendo una ley determinada y continua.

TIPOS DE SUPERFICIES:

Una superficie puede ser abierta o cerrada:

SUPERFICIE ABIERTA

Una superficie abierta es aquella limitada por una curva cerrada.

Puede ser de dos caras o de una cara:

Superficie de dos caras: Una superficie se dice que es de dos caras cuando dado un punto sobre una de sus caras no puede situarse en igual posición sobre la otra cara, sin cruzar su contorno. Se puede visualizar esto imaginando que se quiere colorear la superficie frotando un creyón sobre ella y al hacerlo, sin levantar el creyón ni cruzar el contorno, queda una cara sin colorear.
Superficie de una cara: una superficie será de una cara cuando no ocurre lo anterior. Como ejemplo de una superficie abierta de este tipo está la cinta de Möbius (ver figura 1). Se obtiene fácilmente pegando los extremos de una cinta de papel, después de haber girado media vuelta uno de los lados menores del rectángulo, con respecto al otro. Se ve que la superficie abierta así obtenida es de una sola cara.

Figura 1 - Superficie de una cara - La Cinta de Möbius.

SUPERFICIE CERRADA

Es la superficie exterior de un objeto con volumen.

También pueden ser de dos caras y de una cara. Se dice que es de dos caras cuando divide al espacio en dos regiones, una interior a la superficie y otra exterior, de manera que un punto no puede pasar de la una a la otra sin atravesar la superficie. Será de una cara cuando no se cumple lo anterior, es decir, no separa al espacio en dos regiones. Por lo tanto, no puede decirse que un punto sea interior o exterior porque dos cualesquiera se pueden unir por una linea que no atraviesa la superficie. Como ejemplo de una superficie cerrada de una cara está la botella de Klein (ver figura 2), que se forma extendiendo el área lateral de un cilindro y llevando a empalmarla con la base inferior, después de atravesar la superficie lateral del mismo, y suprimir la parte atravesada de la superficie lateral. Esta superficie se penetra a sí misma, y puede observarse que no divide al espacio en dos partes, una interior y otra exterior.

Figura 2 - Superficie cerrada - La Botella de Klein.

IMPORTANTE: de aquí en adelante sólo serán consideradas superficies abiertas y cerradas de dos caras.

REPRESENTACION VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE

Como se sabe, la magnitud del producto vectorial de dos vectores A y B es igual a la superficie del paralelogramo cuyos lados son definidos por dichos vectores.

Figura 3 - Representación vectorial de una superficie abierta Relación 4b.jpg

de dos caras.

Lo anterior sugiere que es posible representar vectorialmente una superficie. La representación vectorial de una superficie abierta cualquiera se hace por convención. En efecto, considérese una superficie abierta Relación 4b.jpg de dos caras como una de las mostradas en la figura 3, cuyo contorno C está orientado de la forma señala por la flecha.

Por convención, la superficie Relación 4b.jpg se representará mediante un vector Relación 4a.jpg de forma tal que:

su magnitud sea igual a la medida de .
su dirección sea perpendicular a .
su sentido sea el mismo del avance de un tornillo de rosca derecha cuando se hace girar en el sentido de orientación del contorno C de . Suele utilizarse también la regla de la mano derecha y la llamada regla del sacacorchos.

Figura 4 - Representación vectorial de la superficie abierta de dos caras Relación 4b.jpg

y la definición del vector unitario Relación 4c.jpg

Por lo anterior, también es posible escribir,

Ecuación 1

donde Relación 4c.jpg es un vector normal a Relación 4a.jpg , como se muestra en la figura 4. Obviamente, la orientación de sigue el mismo convenio que el usado para .

Para el caso de una superficie diferencial Relación 4e.jpg se cumple igualmente todo lo anterior, sólo que su representación vectorial será,

Ecuación 2

como se muestra en la figura 5, siendo la superficie total,

Figura 5 - Representación vectorial de una superficie Relación 4e.jpg

diferencial, abierta y de dos caras.

Ecuación 3

Para una superficie cerrada se tendrá que Relación 4h.jpg .

Figura 6 - Orientación de Relación 4c.jpg

en una superficie cerrada Relación 4b.jpg

de dos caras. Cada trozo dibujado sobre Relación 4b.jpg

representa un diferencial de la misma.

En el caso de una superficie cerrada, es conveniente orientar Relación 4c.jpg de tal manera que siempre apunte hacia el exterior de la misma, como se muestra en la figura 6.

Figura 7 - Caras de Relación 4b.jpg

En una superficie Relación 4b.jpg abierta de dos caras se puede hablar de una "cara negativa" y una "cara positiva". Se denomina cara negativa (también cara sur) de , aquella por donde penetra Relación 4c.jpg y cara positiva (también norte) aquella por donde sale el mismo, como es mostrado en la figura 7.

REFERENCIAS

Soldovieri, Terenzio y Viloria, Tony. EL ANGULO SOLIDO Y ALGUNA DE SUS APLICACIONES. 1era edición (borrador). Puede descargarse en mi web http://www.cmc.org.ve/tsweb/
Todas las imágenes aquí presentadas fueron elaboradas por mi. La imagen a color constituye la imagen de portada del texto indicado antes, del cual soy autor.
Scala E., J. J. ANALISIS VECTORIAL - CAMPOS, volume II. Editorial Reverté, S.A., 1990.
pp. 11 - 14.
Alonso, M. & Finn, E. J. FISICA - MECANICA, volume 1. Fondo Educativo Interamericano,
S.A., 1970. pp. 21 - 23 51 - 53.
Faget, J. & Mazzaschi, J. TEMAS PROGRAMADOS DE FISICA - GENERALIDADES, volumen 1. Editorial Reverté, S.A., 1976.

Como de costumbre, espero que la anterior información les sea muy útil. El próximo de esta serie se referirá a los Triángulos Esféricos y la trigonometría básica relacionada.
Hasta mi próximo post. ¡Saludos a todos! 😁.