[수학, 계산] 리만기하6 -2 총괄 [Cartan's Geometry]

지난번 포스팅에 이어 나머지 식들도 유도해 보도록 하겠다.

자

앞에 두 식은 지난 포스팅에 유도했으니 차근히 나머지 식들을 유도해 보도록 하자

그 전에 정의들을 Remind 해 보자

자 먼저

를 유도해보자.

일단 지난 시간 복습을 해보자.

이 식으로 부터 Torsion 과 Riemannan tensor 의 \mu, \nu index 는 anti-symmetric 하다는 것을 바로 알 수 있다.

즉 첫번 째 식은 정의로부터 자동적으로 얻어진 다는 것을 알 수 있다.

두번째 식은 리만 텐서의 정의 표현식 A_\alpha 대신에 g_{\alpha \beta} 를 넣으면 바로 보일 수 있다.

이제

이 식을 유도해 보자. 우변이 너무 껄끄러우니까
두번째 Bianchi identity 를 다음과 같이 바꾸어 새로운 quantity 를 정의해 보도록 하자

여기서 이다

그러면

이제 위의 Curly T 를 원 식으로 풀어쓰면 된다.

자 그 다음 식의 경우에는 저 위의 식에 g^{ca} 를 곱하면 된다.

나머지 두 식 역시 Bianchi identity 로 부터 얻는다.

의 경우

더 나아가 를 곱하면

이 마지막 식은 Torsion 이 있는 Cartan Geometry 에서는 Einstein tensor 같은 conserved 한 quantity 가 없다는 것을 말해준다.

여기서 Torsion 에 H-flux 를 대입하여 totally anti-symmetric 한 성질을 주면
엄밀하게 말하면 metric 을 더이상 symmetric 하지 않게 즉
g_{ab} -> g_{ab} + B_{ab} 를 주면 또 재미있는 기하가 생기는데 ㅎㅎ...

ㅋㅋㅋ 나중에 다룰 수 있으면 다루어 보면 재밌을 것 같다[나만 재밌으려나 ㅋㅋ]

일단 길었던 리만기하 포스팅 시리즈는 여기서 마무리를 한다.

[수학, 계산] 리만 기하 1 : metric 과 connection
[수학, 계산] 리만 기하 2 : Ricci scalar
[수학, 계산] 리만 기하 3 : Ricci curvature tensor
[수학, 계산] 리만기하 4 -metric 변분법 // 응용-Low-energy effective action - part 1
[수학, 계산] 리만기하 4 -metric 변분법 // 응용-Low-energy effective action - part 2
[수학, 계산] 리만기하5-1 // Transformation of connection
[수학, 계산] 리만기하 5-2// connection - affine connection
[수학, 계산] 리만기하6 -1 총괄 [Cartan's Geometry]