[수학, 계산] 리만기하 4 -metric 변분법 // 응용-Low-energy effective action - part 1

지금까지 리만기하에 대한 계산 식들을 써 왔는데 오늘 해볼 계산은 리만기하의 변분 공식들을 이용하여 물리에 잘 알려진 운동방정식 같은 것을 유도해 보는 것이다. 가장 간단한 예제로는 Einstein Hilbert action 의 변분으로 Einstein Field equation 을 구하는 것이 있는데, 그것보다는 조금 항이 더 들어가는 supergravity 와 string theory 에서 나오는 Low-energy effective action 의 equation of motion 을 구하는 계산을 해보자. [이 계산을 하면 당연하게도 Einstein-Hilbert action 의 equation of motion 을 구한 것이 된다. Einstein Hilbert action 에서는 \sqrt{-g} R 만 있는 것이고 여기서는 추가로 항들이 더 들어간 것이기 때문이다. 사실 하나짜리는 상대론 책이나 Wikipedia 에도 잘 나와 있어서 굳이 여기에 따로 정리할 필요가 있나 싶다.]

[물리에서는 시간과 공간을 같이 대우하지만 metric 에서 부호를 반대로 하기에[Lorentzian manifold] 사실 수학적으로 완전한 리만기하와 조금 다르다. 이를 pseudo-Riemannian geometry, 혹은 Lorentzian geometry 라고 한다. 사실 계산 자체는 동일하지만 수학적으로 정의되는 것들, 방정식의 솔루션 모양 등의 경우에는 다른 성질들을 준다. [well-posedness 같은 것을 고려해 보면 안다]이에 대한 차이는 나중에 기회가 되면 다루어 보도록 하자.]

사실 나는 살면서 다양한 계산들을 정리해 왔는데 ㅋㅋㅋ 이걸 아는 한 친구가 혹시 예전에 Low-energy effectvie action 의 equation of motion 유도해 봤냐고 해서 ㅋㅋㅋ 예전에 작성한 노트를 복귀하면서, 사용한 관계식의 결과는 맞는데 중간에 유도한다고 적어놓은 식들 중에 틀리게 쓴 식들이 있어서 수정도 좀 하고 관련 identity 유도도 좀 다시 해보고 한번 기록으로 남겨보겠다고 포스팅을 해 본다.

관련 계산에 대해서 한번쯤 정리해 볼 필요가 있다고 생각은 했었으나 굳이 지금할 필요성을 못느꼈었는데 가는날이 장날이라 생각해서 한번 정리해 본다.

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먼저 string frame 에서 Low-energy effective action 은 다음과 같이 쓰인다. (frame 과 관련되서 예전에 쓴 포스팅 [잡담,과학] 프레임 // Feat 중력 을 참조하시기를 ㅋㅋ]

여기서 여러 beta 함수들을 정의하고 계산할 수 있는데, 기본적으로 해당 베타함수들은 위 식의 equation of motion 과 관련이 있다.

이번 포스팅의 목표는 바로 이 식들을 유도하는 것에 있다.

끈이론을 공부하다 보면 자주 마주치게 되는 식으로 뭐 ㅋㅋ 예전 추억을 한번 되돌려 보는 기회가 됬다.

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필요한 수식들

리만기하와 관련되서 metric G 에 대한 variation 공식들이 필요하다. 한번 정리해 보자

이 커넥션 공식이 낯설다면 예전 포스팅 [수학, 계산] 리만 기하 1 : metric 과 connection

리만텐서의 정의와 리치 텐서 리치 스칼라의 정의는 [수학, 계산] 리만 기하 2 : Ricci scalar
글 속에 정의 되어 있다.

사실 이것은 보이고 말고도 할 것이 없다. 위에 식의 변분을 \delta Gamma 로 쓴 것을 보기 좋게 묶은 것에 불과하다.

이 식 역시 앞에 \delta Riemann tensor 텀에 인덱스를 적절히 맞춘 것에 불과하다.

이 식은 바로 나오는 것이 아니라 계산이 좀 필요하다.

해당 식들을 한번 유도 해 볼까

메트릭 G 관련

먼저 리만기하를 생각하자

일단 알아두어야 할 것으로

여기서 D 는 그냥 차원이다. 주의해야 할 것은 metric 의 variation 계산시 contraction 되있는 인덱스 위치를 바꿀때 부호가 바뀐 다는 점이다.

그리고

exponential 의 정의와 determinant trace 성질이다.
이를 이용해서 metric G 의 determinant 인 G 의 variation 을 구할 수 있다.

여기서

가 쓰였다.

다 합치면

상대론의 경우 시간과 공간의 metric 부호가 반대이기 때문에 determinant 값이 항상 음수가 나온다. 이를 보정하면

Connection 관련

이 밑에 식을 유도해 볼 껀데 사실 더학고 빼고를 잘 하면 나온다.

유도 과정 중에

가 쓰였다.

리만텐서와 리치텐서는 따로 보일 필요는 없어 보이고

얘는 한번에 나오는 것이 아니라 좀 보일 필요가 있다.

유도 과정을 적어 보면

계산 과정 중에

가 쓰였다.

det G 값의 부호만 다른 거지 사실 variation 계산 자체는 리만기하나 물리, 상대성 이론 관련 계산이나 크게 차이가 없다.

Part 2 포스팅에는 여기서 구한 공식들을 가지고 equation of motion 을 직접 구해보도록 하자.