[수학, 계산] 리만 기하 3 : Ricci curvature tensor

지난 2탄 포스팅에서 [수학, 계산] 리만 기하 2 : Ricci scalar Ricci scalar 를 metric 으로만 표현했는데 이번엔 Ricci curvature tensor 만을 metric 으로 쓰는 작업을 해 보려고 한다.

ㅋㅋㅋㅋ 먼가 하다보니까 거꾸로 작업하는 것이 되어 버렸다.

리치 텐서의 정의부터 시작해 보자

재밌는 사실은 이 정의로 부터 리치텐서는 mu,nu 에 대해서 대칭적 성질을 가지고 있다는 것이다.

connection 을 대입해 보자

[connection 유도에 대해서는 첫번째 편 [수학, 계산] 리만 기하 1 : metric 과 connection 을 ~]

자 이제 대입해서 정리하는 일만 남았다. 지난번 계산이랑 사실 거의 같은 과정이다.

첫번째 줄에서 그냥 전개하지 왜 두번째 식 처럼 정리했느냐, 그것은 Ricci curvature tensor 의 symmetric properties 를 explicit 하게 보이고 싶어서 이다. 그 전에 저 식에 쓴 괄호 notation 은 다름의 아니라

1/2 은 두개의 인덱스에 대한 대칭이라 붙는 것으로 일종의 normalization 이다. 다시 저 계산 식으로 돌아가보서 첫번째 줄에서 두번째 줄로 넘어가는 과정을 살펴보자. 그 과정 중에는 다음과 같은 식이 쓰였다.

색칠 놀이는 하는 과정에서 dummy index 의 re-labeling 과 앞에 곱해진 metric 의 symmetric 성질을 사용하였다.

대칭성 확인을 위해 다시 결과식을 한번 봐보자면

나머지 식들은 metric 의 대칭성이나 괄호 묶인 것으로 봐서 mu,nu 의 대칭성이 쉽게 보이는데 빨간 밑줄 저 두 식은 대칭성이 쉽게 보이지 않는다.

저 대칭성은 사실

으로부터 자동적으로 각각 대칭적이라는 것을 알 수 있다.

하 ㅋㅋㅋ 이쯤 되면 왜 사람들이 Ricci curvature tensor 나 Ricci scalar 를 metric 으로 표현하지 않고 connection 으로 쓰는지 감이 올 것이다. metric 으로 쓰면 너무 복잡해 보이기 때문이다. ㅠㅠ

실제로는 connection 을 계산한뒤 그 connection 값으로 Ricci 값들을 구하는데, 이 과정에서는 connection 을 구하는 과정을 빼고 metric 으로 부터 바로 얻고자 풀어 쓴 것이다. 그런데 connection 으로 적은 것은 길어야 4항이라 외우는데 크게 문제가 없는데 metric 으로 쓴 것은 외우기가 너무 힘들어서 언제부터인가 저런 공식들은 교과서에서 사라지고 말았다.