[수학, 계산] 리만기하 4 -metric 변분법 // 응용-Low-energy effective action - part 2

지난번 포스팅에는 운동방정식 유도에 필요한 수식들을 유도해 보았다. 사실상 리만기하의 변분 공식 유도라고 해도 무방하다. 지난번에 증명한 수식들을 바탕으로

의 equation of motion 을 구해보자

자 저 action 은 phi, B ( 저 식의 H=dB 이다), metric G 로 구성되어 있기에, 각각의 경우에 따라 변분해 주면 된다.

B 로 변분

먼저 B 에 대해서 변분해 보자.

B에 대해 변분하기 전에 H 의 정의를 서술해 보면

간략하게 H=dB 로 쓰기도 한다. 여기서 저 two-form B field 는 anti-symmetric 하다. 즉
이를 이용해 H 를 explicitly 하게 써보면

자 B 에 대해서 변분해 보자

첫번째 식은 H^2 을 변분하는 과정에서 나왔고 첫번째에서 두번째로 가는 과정에서는

식이 쓰였다. 그리고 마지막 과정에서는

식이 쓰였다. Connection 의 symmetric 성질과 H 가 totally anti-symmetric 하다는 것을 이용하였다.

즉 이로써

를 얻고 divergence 형태를 이용하여

up to total derivatives

즉 이 식을 가지고 B에 대한 beta 함수 형태를 찾을 수 있다.

스칼라 Phi

Phi 에 대한 변분은

여기서

관계식이 쓰였다. action 형태로 살펴보면

즉

beta 함수의 정의를 불러와 보면

저 식은 다름이 아니라

즉

metric G 에 대한 변분

먼저 G에 대해서 변분해 보면

일단 이 식을 얻기 위해서

와

식이 쓰였다.

자 이제 계산을 더 이어가기 위해서

를 이용해 \delta G^{\mu \nu} 로 묶어 보는 작업을 해보자.

특별히 문제가 될 식은

으로

에 total-derivative term 들을 0으로 보내는 것으로 얻을 수 있다.

이제 결과들을 대입하여 정리하면

즉

첫번째 식은 Phi 에 대한 equation of motion 이라는 것을 쉽게 알 수 있다. Beta 함수의 정의를 불러와 다시 적어 보면

summary

지금까지 구한 운동방정식을 정리해 보자

저 식을 연립해 보면

좀 길었나? ㅎㅎ

저기에다 fermion matter 나 Higgs scalar field, 혹은 다른 additional 한 scalar field 를 추가해서 새로운 모델을 만들거나 현상을 파악하는 일들을 할 수 있다.