[수학, 계산] 리만기하 5-2// connection - affine connection

자 지난포스팅에 이어 이번 포스팅에서는 왜 저 connection 을 affine connection 이라고 부르는지 알아보도록 하자.

먼저 간단히 복습을 해보자.

affine connection 은 다음을 만족한다.

coordinate basis 에서 affine connection 은 다음과 같이 정의된다.

그리고 이런 coordinate basis 에서 벡터는 다음과 같이 표현된다.

따라서

이 connection 이 0 이 되는 특수한 경우에 다음과 같이 계산 식을 쓸 수 있는데

여기서 coordinate transformation 에 대해서 이 인 transformation 을 affine transformation 이라고 부르는데 그 이유는 다음 계산을 통해 얻어진다.

중간 과정에 쓰인 식으로 인해

이 변환이 affine transformation AX+B 와 같기에 이 조건을 주는 해당 connection 을 affine connection 이라고 부른다.

사실 이런 connection 이 0 이 되는 coordinate 를 리만 기하에서 Riemann normal coordinate(RNC) 라고 부른다. 아인슈타인의 상대성 이론의 general covariance 덕분에 특정 한 계에서 (예를 들면 RNC ) 구한 값이 다른 계에서 구한 값과 같아 계산하기 복잡한 식의 경우 RNC 를 사용하면 쉽게 계산할 수 있다. [엄밀하게 물리에서 RNC 는 메트릭 g 의 일차미분은 0이지만 이차 미분은 0이 아닌 경우를 말한다. 즉 connection 은 0이지만 그것의 미분 형태로 구성된 리만 텐서나 리치 텐서의 경우 RNC 에서 0 이 되지 않는다. ]

위의 과정에서 복잡하게 계산했지만 이미 지난 포스팅에 구한 결과값

를 이용하고 각각의 basis 의 connection 이 사라진다는 조건(앞에 구한 것과 같은 조건) 을 대입하면 같은 결과를 얻는다.