[수학, 계산] 리만기하6 -1 총괄 [Cartan's Geometry]

리만기하 계산의 마지막 시리즈!!!

일전에 리치 텐서와 리치 스칼라의 값을 metric 만으로 적는 수작업을 정리한 적이 있었다. [사실 그 값을 굳이 손으로 계산할 필요가 있나... 요즘은 워낙 시대가 좋아 그런 계산들을 해 주는 프로그램이 있기도 하다...]

오늘은 그 텐서들의 정의와 성질들에 대해서 정리해 볼까 한다.

일반적인 리만기하 (Torsion-less ) 한 것은 교과서에서 쉽게 찾아 볼 수 있으니 조금 더 나아가 Torsion 이 있는 경우를 생각해 보도록 하자

대부분의 교과서는 Torsion 이 있는 경우를 잘 다루지 않고 다루더라도 몇가지 쉬운 성질들만 설명하고 마는데 남들과 똑같이 하면 재미없으니까....

일단 Torsion-less 한 경우의 식들을 한번 정리해 보면

첫번째와 두번째는 Bianchi identities 라 불리는 것으로

여기서 자동으로 나오게 된다 [Torsion 을 포함하여 곧 증명할 것이다]

세번째의 경우는 리만텐서의 정의로부터

자연스럽게 튀어 나온다.

4번째는 리만 기하의 정의 중 하나인 metric compatibility 로 자연스럽게 나온다.

5번째, 6번째 성질 그리고 마지막 성질이 중요하다. 이 성질들로 인해 Symmetric Ricci tensor 가 정의되고 또 Einstein tensor 가 정의가 되기 때문이다. [마지막 식이 Einstein Tensor 이다.]

ㅋㅋㅋ 사실 이 위의 식들은 Riemann Normal coordinate위에서 그냥 아주 쉽게 보일 수 있다. [많은 교과서에서는 이 방법으로 위의 식들을 증명하곤 한다.]

이런 조건에서 리만텐서는 아주 간단하게 쓰인다.

예를 들어

이것 자체로 쉽게 위의 모든 식을 확인 할 수 있다.

자 이제 조금 어려운 교과서(?) 수준의 내용을 이야기 해보자

Torsion 이 있는 경우는 어떻게 될까? [이런 기하를 Cartan Geometry 라 한다]

torsion 이 있는 기하, Cartan 의 기하에서는 위의 공식들이 아래처럼 바뀐다.

이 식들을 유도하는 것이 이 마지막 포스팅 리만기하6 탄의 목적이다.

---

자 일단 정의를 보여줌에 앞서 [흠 제대로 정의의 유도과정은 안썻나 보다.. 이런]
나의 covariant derivative 의 convention 부터 깔고 가자

Rank (1,1) tensor T 에 대해서

여기서 Torsion 과 Riemann tensor 를 이 covariant derivatives 의 commutator 로 정의한다.

여기서 phi 는 스칼라이다. 저 commutator 계산을 해보면

ㅎㅎ

진짜 저렇게 나오는지 한번 확인해 봐야 되지 않겠는가

빨간색 항은 symmetric 하기에 commutator 계산 시 사라지는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

자 일단 Bianchi identity 까지만 하고 나머지는 다음 포스팅에서 정리해 보도록 하겠다.

이 식 뒤에 phi 나 A^\alpha, A_{\alpha} 를 넣어 계산하면 된다.

먼저 첫번째 Bianchi identity를 구해 보자.

두번째 Bianchi identity 도 구해보자

여기서 파란색은 첫번째 Bianchi identity로 인해상쇄된다.

이로써 두개의 Bianchi identity 를 구했다.