[수학, 계산] 리만 기하 2 : Ricci scalar

원래 이번 리만기하 포스팅의 목적은 리치 스칼라를 metric 만으로 표현하려는데 있었다.

즉

이 식을 유도하는게 목표였다. 그러기 위해서는 metric 과 connection 을 알아야 하기에 이전글을 작성한 거였다.

Convention

먼저 지난번 convention이 나에게 화를 부추겼기에 [열심히 계산했더니 정작 위키피다아와 다른 convention 이었다.. ㅋㅋ]

일단 covariant derivative convention 부터 확인하고 가자.

이 정의 하에서 다음과 같이 리만 텐서를 정의할 수 있다.

T 항은 torsion-free condition 에 의해 0 이 된다.

이로부터 다음과 같은 리치텐서, 리치 스칼라 를 정의할 수 있다.

계산

자 이제 이 convention 에 따라 위 식을 계산 해 보자. 열심히 색을 칠하다 보면 저 식을 얻을 수 있다.

일단 R 을 Connection 으로 적어 보자

Connection 은 아래와 같이 주어지므로

자 이제 정신을 똑바로 차리고 대입해보자

빨간색 부분은 metric g 의 대칭성으로 해당 부분이 같아 2배가 된다는 것을 나타냈다. 일단 파랑색 항들을 정리해 보자

여기서는 색칠한 것들끼리 상쇄가 일어난다.

더 위의 보라색 항은 아래처럼 간단히 쓸 수 있다.

자 계속 해 보자

여기서는 색칠된 항끼리 계산해서 다음줄을 얻었다. 또한 식 도중에

를 사용하였다.

자 이제 거의 다 왔다. 원하는 식 형태를 만들기 위해 식을 좀 더 다듬어야 한다.

식을 이용하면

드디어 우리가(?) ㅋㅋㅋ 내가 원하는 식을 얻을 수 있다.

지긋지긋한 이 식을 블록체인에 박제해버리려고 포스팅을 작성해 봤다.

프랑스 수학자의 책이었나 논문에서 이 식을 봤었던 것 같은데, 이제는 어디서 봤는지 기억도 나지 않는다.

아디오스~