En la presente publicación, luego de haber estudiado las primeras Operaciones con Conjuntos ha llegado el momento de saltar al ámbito de combinarlas mediante generalidades perfectamente comprobables y aplicables en la resolución de problemas matemáticos que involucren éstos conceptos. Las alternativas que se presentarán a continuación vinculan las operaciones: Complemento de un Conjunto, Intersección de Conjuntos y Unión de Conjuntos y se denominan Leyes Distributivas y Leyes de De Morgan. A continuación conozcamos de qué se trata.

Leyes Distributivas

En el ámbito de la Teoría de Conjuntos es posible integrar la Intersección de Conjuntos y la Unión de Conjuntos en leyes que son de gran importancia sobre todo cuando se plantea el escenario de las operaciones combinadas, las mismas se conocen como Leyes Distributivas las cuales se denotan en símbolos como se refleja en la siguiente imagen

Las mismas pueden ser representadas mediante un Diagrama de Venn tal como se visualiza en las imágenes siguientes:

A continuación procederé a presentar la demostración de ambas para lo cual es necesario considerar los siguientes aspectos teóricos:

• Definición de Igualdad de Conjuntos (es decir, demostrar la doble inclusión)
• Definición de Intersección de Conjuntos
• Definición de Unión de Conjuntos
• Leyes lógicas distributivas (de la conjunción respecto a la disyunción inclusiva y de la disyunción inclusiva respecto de la conjunción)

Ahora, teniendo en cuenta lo referido, procedamos a las demostraciones respectivas:

I) (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

i ¿ [(A∩B)∪C]⊂[(A∪C)∩(B∪C)]?

∀x∈[(A∩B)∪C]⇒x∈(A∩B)∨x∈C , por definición de unión de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈B)∨x∈C, por definición de intersección de conjuntos
⇒(x∈A∨x∈C)∧(x∈B∨x∈C), por ley lógica distributiva de la disyunción inclusiva respecto de la conjunción
⇒x∈(A∪C)∧x∈(B∪C), por definición de unión de conjuntos
⇒x∈[(A∪C)∩(B∪C)], por definición de intersección de conjuntos
∴Se demuestra que [(A∩B)∪C]⊂[(A∪C)∩(B∪C)] , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ [(A∪C)∩(B∪C)]⊂[(A∩B)∪C]?

∀x∈[(A∪C)∩(B∪C)]⇒x∈(A∪C)∧x∈(B∪C), por definición de intersección de conjuntos
⇒(x∈A∨x∈C)∧(x∈B∨x∈C), por definición del unión de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈B)∨x∈C, por ley lógica distributiva de la disyunción inclusiva respecto de la conjunción
⇒x∈(A∩B)∨x∈C , por definición de intersección de conjuntos
⇒x∈[(A∩B)∪C] , por definición de unión de conjuntos
∴Se demuestra que [(A∪C)∩(B∪C)]⊂[(A∩B)∪C] , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C), por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

II) (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

i ¿ [(A∪B)∩C]⊂[(A∩C)∪(B∩C)]?

∀x∈[(A∪B)∩C]⇒x∈(A∪B)∧x∈C , por definición de intersección de conjuntos
⇒(x∈A∨x∈B)∧x∈C, por definición de unión de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈C)∨(x∈B∧x∈C), por ley lógica distributiva de la conjunción respecto de la disyunción inclusiva
⇒x∈(A∩C)∧x∈(B∩C), por definición de intersección de conjuntos
⇒x∈[(A∩C)∪(B∩C)], por definición de unión de conjuntos
∴Se demuestra que [(A∪B)∩C]⊂[(A∩C)∪(B∩C)] , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ [(A∩C)∪(B∩C)]⊂[(A∪B)∩C]?

∀x∈[(A∩C)∪(B∩C)]⇒x∈(A∩C)∧x∈(B∩C), por definición de unión de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈C)∧(x∈B∧x∈C), por definición del intersección de conjuntos
⇒(x∈A∨x∈B)∧x∈C, por ley lógica distributiva de la conjunción respecto de la disyunción inclusiva
⇒x∈(A∪B)∨x∈C , por definición de unión de conjuntos
⇒x∈[(A∪B)∩C] , por definición de intersección de conjuntos
∴Se demuestra que [(A∩C)∪(B∩C)]⊂[(A∪B)∩C] , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C), por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

Leyes de De Morgan

Estas leyes deben su nombre al famoso matemático británico nacido en la India Augustus De Morgan, las cuales desde la Teoría de Conjuntos representan unas equivalencias que combinan las operaciones Complemento de un Conjunto, Intersección de Conjuntos y la Unión de Conjuntos. Las mismas se representan en símbolos como se muestran en la siguiente imagen

Se pueden representar en un Diagrama de Venn como se muestran en las imágenes siguientes:

De igual manera, procederé a desarrollar la demostración de estas leyes considerando las siguientes definiciones:

• Definición de Igualdad de Conjuntos (es decir, demostrar la doble inclusión)
• Definición de Complemento de un Conjunto
• Definición de Intersección de Conjuntos
• Definición de Unión de Conjuntos

Ahora, es el momento de proceder a desarrollar las demostraciones:

Hemos comprobado que la combinación de operaciones de conjuntos es posible y se puede proceder a las particularidades de las leyes estudiadas. Nos leemos en la próxima publicación en la cual seguiremos con la temática de Operaciones con Conjuntos.

Ninguna investigación humana puede ser llamada verdadera ciencia si no puede ser demostrada matemáticamente - Leonardo da Vinci.

Referencia

Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.

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