Intersección de Conjuntos

Siguiendo con la temática relativa a la Teoría de Conjuntos, en esta oportunidad les presentaré otra de las operaciones que se dan entre éstos: La Intersección de Conjuntos. Antes de entrar en los aspectos algebraicos, quisiera iniciar diciendo que muchos que están por conocer estos conceptos matemáticos seguramente afirmarán ¿qué tiene que ver esto con la cotidianidad? Les respondo, que en particular el concepto que hoy estudiamos está más vinculado con el quehacer humano de lo que podemos imaginar, y es que cuando pensamos en la palabra intersección lo primero que nos viene a la mente es que tiene que ver con cosas que coinciden en algo de forma simultánea, y en esto, por ejemplo, puede pasar que dos o más personas posean intereses comunes, en ese caso las cualidades que permiten que individuos de grupos diferentes coincidan es lo que garantiza que existirá un grupo, comunidad o conjunto que puedan integrar o al cual puedan pertenecer y a eso se le conoce en la vida diaria como intersección de conjuntos.

Asimismo, por ejemplo, si quisiéramos asignar la cualidad de conjuntos a países como Venezuela (A), Colombia (B) y Chile (C), podríamos incluso precisar una intersección entre ellos, sólo bastaría con identificar una cualidad, fenómeno o situación en la cual una porción de cada uno coincida, podrían ser muchos aspectos, yo optaré por puntualizar a los educadores. Una vez que se identifica esa alternativa, nos damos cuenta que es posible determinar un conjunto intersección en tanto que en los tres países mencionados existen ciudadanos que son educadores.

Ahora bien, situaciones como las mencionadas pueden representarse de forma algebraica (a través de símbolos matemáticos) mediante la siguiente definición general: sean dos conjuntos cualesquiera A y B subconjuntos del Conjunto Universal, se define (A∩B)⊂U como el conjunto conformado por todos los elementos en común entre A y B, es decir, que pertenecen de forma simultánea a ambos. En símbolos:

Adicionalmente, existe la posibilidad de que existan elementos que estén en un conjunto pero no en el otro, esto indica por ende, que no pertenecerán a la intersección. En ese caso, es necesario saber cuándo un elemento no pertenece a este conjunto y tal condición también se asume como definición. En la siguiente imagen se puede observar en símbolos

Representado en un Diagrama de Venn

Por otro lado, es importante destacar en primer lugar que la intersección es un operador binario, esto es, se requieren al menos dos conjuntos para que pueda determinarse su existencia. En segundo lugar, es posible que teniendo dos conjuntos cualesquiera A y B subconjuntos del Conjunto Universal no existan entre ellos elementos en común, por tanto su intersección es vacía y tales conjuntos se denominarán Conjuntos Disjuntos. Esto se expresa

Propiedades de la Intersección de Conjuntos

• Idempotencia: Un conjunto A cualquiera subconjunto del Conjunto Universal intersectado con él mismo es igual al mismo conjunto. En símbolos A∩A=A.

Para demostrar esta propiedad, se debe observar primeramente de que estamos en presencia de una Igualdad de Conjuntos, por lo tanto, se debe comprobar la doble inclusión. Además, es necesario tener presentes la definición de intersección de conjuntos y la ley lógica de idempotencia de la conjunción (∧). Procedamos con la demostración:
i ¿ A∩A⊂A?

∀x∈A∩A⇒x∈A∧x∈A , por definición del intersección de conjuntos
⇒x∈A, por ley lógica de idempotencia de la conjunción
∴Se demuestra que A∩A⊂A , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ A⊂A∩A?

∀x∈A⇒x∈A∧x∈A , por ley lógica de idempotencia de la conjunción
⇒x∈A∩A, por definición del intersección de conjuntos
∴Se demuestra que A⊂A∩A , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que A∩A=A, por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

• Conmutatividad: La Intersección de Conjuntos cumple con la propiedad conmutativa, la cual se expresa en símbolos así: A∩B=B∩A

Nuevamente, para demostrar esta propiedad, se debe tomar en cuenta la definición de Igualdad de Conjuntos, es decir, se debe comprobar la doble inclusión. Asimismo, se deben considerar la definición de intersección de conjuntos y la ley lógica de conmutatividad de la conjunción (∧). Vayamos ahora a la demostración:

i ¿ A∩B⊂B∩A?

∀x∈A∩B⇒x∈A∧x∈B , por definición del intersección de conjuntos
⇒x∈B∧x∈A, por ley lógica de conmutatividad de la conjunción
⇒x∈B∩A, por definición del intersección de conjuntos
∴Se demuestra que A∩B⊂B∩A , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ B∩A⊂A∩B?

∀x∈B∩A⇒x∈B∧x∈A , por definición del intersección de conjuntos
⇒x∈A∧x∈B, por ley lógica de conmutatividad de la conjunción
⇒x∈A∩B, por definición del intersección de conjuntos
∴Se demuestra que B∩A⊂A∩B , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que A∩B=B∩A, por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

• Asociatividad: Sean A, B y C subconjuntos del Conjunto Universal, la asociatividad de la intersección de conjuntos se define así: (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

En el caso de esta demostración se deben considerar las definiciones de Igualdad de Conjuntos, definición de intersección de conjuntos y la ley lógica de asociatividad de la conjunción. Dicho esto, procedamos a la comprobación

i ¿ (A∩B)∩C⊂A∩(B∩C)?

∀x∈[(A∩B)∩C]⇒x∈(A∩B)∧x∈C , por definición del intersección de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈B)∧x∈C, por definición del intersección de conjuntos
⇒x∈A∧(x∈B∧x∈C), por ley lógica de asociatividad de la conjunción
⇒x∈A∧x∈(B∩C), por definición del intersección de conjuntos
⇒x∈[A∩(B∩C)], por definición del intersección de conjuntos
∴Se demuestra que (A∩B)∩C⊂A∩(B∩C) , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ A∩(B∩C)⊂(A∩B)∩C?

∀x∈[A∩(B∩C)]⇒x∈A∧x∈(B∩C), por definición del intersección de conjuntos
⇒x∈A∧(x∈B∧x∈C), por definición del intersección de conjuntos
⇒(x∈A∧x∈B)∧x∈C, por ley lógica de asociatividad de la conjunción
⇒x∈(A∩B)∧x∈C , por definición del intersección de conjuntos
⇒x∈[(A∩B)∩C] , por definición del intersección de conjuntos
∴Se demuestra que A∩(B∩C)⊂(A∩B)∩C , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que (A∩B)∩C=A∩(B∩C), por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

• Elemento Neutro: Para cualquier conjunto A que es subconjunto del Conjunto Universal se verifica que el elemento neutro de dicho conjunto es el mismo Universo. Esto se puede expresar en símbolos como sigue:

Como propiedades adicionales, la Intersección de Conjuntos verifica las siguientes: Si A, B y X son tres conjuntos cualesquiera subconjuntos del Conjunto Universal,

• A⊂B⟺A∩B=A

• A⊂X∧A⊂X⇒A∩B⊂X

La demostración de estas propiedades se deja como sugerencias para los lectores. Seguiremos con otra operación de conjuntos en la próxima publicación.

Las leyes de la naturaleza no son más que los pensamientos matemáticos de Dios - Euclides .

Referencia

Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.

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