Nuevamente nos encontramos para dar seguimiento a la temática relativa a las Operaciones con Conjuntos, en esta oportunidad abordamos la Unión de Conjuntos, una interesante concepción teórica de gran aplicabilidad y uso en la vida diaria de los seres humanos. Antes de entrar propiamente en el rigor algebraico del concepto, vale la pena reflexionar sobre la forma como naturalmente utilizamos la Matemática en nuestras vidas y muchas veces no nos damos cuenta, no obstante, es innegable el rol protagónico que la misma ha tenido en el progreso científico y tecnológico de la humanidad, proveyéndonos de facilidad en los procesos cotidianos y por ende calidad de vida.

En el caso particular del concepto que hoy estudiamos, resulta muy sencillo conseguir ejemplos donde se aplica de forma natural y cotidiana, muchas veces sin notar la noción implícita en nuestro hacer. En principio deberíamos identificar a que refiere el mismo, y es que cuando hablamos de unión es fácil reconocer que tiene que ver con integración, unificación, reunión, adición, incluso con completitud a pesar de que no necesariamente debe tener una aproximación al universo referencial en cuestión. Tal integración tiene lugar a partir de una cualidad y propiedad que la permite y en este sentido personas, animales, objetos, regiones, pueden encontrarse en la suma de algo en lo cual todos son parte o pertenecen. A les presento algunos ejemplos o ámbitos de aplicación en los cuales se puede evidenciar la Unión de Conjuntos:

• Imaginemos que nos encontramos en una institución educativa, como sabemos, ésta en general están organizadas por años/grados y secciones (A, B, C… o 1, 2, 3… dependiendo de la forma como las identifiquen). Supongamos que estamos en un plantel organizado en 5 años/grados y cada uno con un número específico de secciones (de 3 a 5 de forma decreciente a medida que se avanza de año/grado, lo cual generalmente ocurre producto de la ya tradicional deserción escolar). Ahora bien, podríamos obtener conjuntos unión dependiendo de la necesidad o la dinámica socioeducativa del referido entorno escolar, así por ejemplo, si tenemos las secciones A, B, C, D, E correspondientes al primer año/grado, cada uno con un número de estudiantes no necesariamente idéntico, más bien variable, el respectivo conjunto unión reuniría a la totalidad de los alumnos (elementos) de las mencionadas secciones, no obstante, no necesariamente, tenemos que unir todas, se puede hacer integrando sólo dos en adelante, así tendríamos como resultado tantos conjuntos unión como posibilidades existan. Este mismo ejercicio puede hacer en los diferentes años/grados, así como, como también, pueden presentarse opciones de integración no a nivel de secciones sino en el de los años/grados, dándose las alternativas de unir 1°, 2°, 3°, 4° y 5°, todos a la vez o cada dos, tres o más conjuntos, dependiendo de los requerimientos del escenario educativo en cuestión. Estos ejercicios son muy habituales en las instituciones educativas, sobre todo, cuando se trata de organizar actividades extracurriculares.

• Considerando otro ejemplo o ámbito de aplicación del concepto Unión de Conjuntos, situémonos en el Globo Terráqueo (universo referencial) basándonos en la división continental asumida por la ONU: América (A), Europa (B), Asia (C), África (D) y Oceanía (E) (no incluida la Antártida por su escasa población). En este caso, existen diversas posibilidades de concebir un conjunto unión, por ejemplo, se podría decir que cada continente en particular cumple con esa cualidad en tanto que están conformado por países que a su vez se pueden asumir como conjuntos. Igualmente se pueden establecer conjuntos unión cada dos, tres o más continentes dependiendo de los requerimientos del contexto.

• Otro ejemplo tiene que ver con las organizaciones políticas en un determinado país, estas generalmente tienen agrupaciones sectoriales que en sí mismas son conjuntos unión en tanto que están integradas por personas (elementos) que forman partes de las mismas. Cada agrupación sectorialmente generalmente tiene una comisión coordinadora integrada por un grupo más reducido de personas, lo que da la posibilidad de crear conjuntos de comisiones sectoriales. Si unimos todas las agrupaciones sectoriales en da la totalidad de la organización, y ese sería a su vez el conjunto Universal inherente a la cualidad que permite la integración. Como en los casos anteriores, de igual forma es posible obtener conjuntos unión de dos, tres o más de las agrupaciones sectoriales.

Como se puede apreciar, la Unión de Conjuntos es más común en nuestra cotidianidad de lo que podemos imaginar y aplica en diversidad de ámbitos. Ahora que hemos comprendido que se trata de un concepto desprendido de la realidad del ser humano, podemos involucrarnos con las abstracciones matemáticas del caso. En principio, conviene definirla, para lo cual es necesario tener como mínimo dos conjuntos A y B subconjuntos del Conjunto Universal U, dado que la unión es un operador binario, se define la misma como el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a U tal que se encuentran en el primer conjunto o en el segundo o en ambos inclusive. En símbolos sería:

De la definición anterior se desprende que la única forma de que un elemento no pertenezca a la Unión de Conjuntos es que no esté en ninguno de los conjuntos, lo cual se representa como sigue

Adicionalmente es necesario aclarar que en la definición se tiene como operador lógico una disyunción inclusiva lo cual indica que es posible obtener la unión de los conjuntos A y B sin importar que existan elementos en común o que su intersección sea vacía (conjuntos disjuntos), porque de igual manera en ambos escenarios se cumpliría con la definición dada. Lo dicho puede visualizarse en las siguientes imágenes:

Caso: Intersección no vacía

Caso: Intersección vacía

Propiedades de la Unión de Conjuntos

• Idempotencia: Dado un conjunto A cualquiera subconjunto del Conjunto Universal se tiene que la unión de ese conjunto con él mismo es igual al mismo conjunto. Simbólicamente es A∪A=A.

La demostración de esta propiedad, requiere tener presentes las definiciones de Igualdad de Conjuntos (doble inclusión), la de unión de conjuntos y la ley lógica de idempotencia de la disyunción inclusiva (∨). Vayamos a la demostración:

i ¿ A∪A⊂A?

∀x∈A∪A⇒x∈A∨x∈A , por definición de unión de conjuntos
⇒x∈A, por ley lógica de idempotencia de la disyunción inclusiva
∴Se demuestra que A∪A⊂A , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ A⊂A∪A?

∀x∈A⇒x∈A∨x∈A , por ley lógica de idempotencia de la disyunción inclusiva
⇒x∈A∪A, por definición de unión de conjuntos
∴Se demuestra que A⊂A∪A , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que A∪A=A, por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

• Conmutatividad: La Unión de Conjuntos verifica la propiedad conmutativa, la cual se representa simbólicamente: A∪B=B∪A

En este caso, para realizar la demostración de esta propiedad, consideremos la definición de Igualdad de Conjuntos (doble inclusión), la definición de unión de conjuntos y la ley lógica de conmutatividad de la disyunción inclusiva (∨). Desarrollemos ahora la comprobación:

i ¿ A∪B⊂B∪A?

∀x∈A∪B⇒x∈A∨x∈B , por definición de unión de conjuntos
⇒x∈B∨x∈A, por ley lógica de conmutatividad de la disyunción inclusiva
⇒x∈B∪A, por definición de unión de conjuntos
∴Se demuestra que A∪B⊂B∪A , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ B∪A⊂A∪B?

∀x∈B∪A⇒x∈B∨x∈A , por definición de unión de conjuntos
⇒x∈A∨x∈B, por ley lógica de conmutatividad de la disyunción inclusiva
⇒x∈A∪B, por definición de unión de conjuntos
∴Se demuestra que B∪A⊂A∪B , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que A∪B=B∪A, por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

• Asociatividad: Para definir esta propiedad se deben considerar al menos tres conjuntos A, B y C subconjuntos del Conjunto Universal, luego la asociatividad de la unión de conjuntos se define así: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)

Para esta demostración consideremos las definiciones de Igualdad de Conjuntos, definición de unión de conjuntos y la ley lógica de asociatividad de la disyunción inclusiva. Ahora, realizamos la respectiva demostración:

i ¿ (A∪B)∪C⊂A∪(B∪C)?

∀x∈[(A∪B)∪C]⇒x∈(A∪B)∨x∈C , por definición del unión de conjuntos
⇒(x∈A∨x∈B)∨x∈C, por definición del unión de conjuntos
⇒x∈A∨(x∈B∨x∈C), por ley lógica de asociatividad de la disyunción inclusiva
⇒x∈A∨x∈(B∪C), por definición del unión de conjuntos
⇒x∈[A∪(B∪C)], por definición del unión de conjuntos
∴∴Se demuestra que (A∪B)∪C⊂A∪(B∪C) , por definición de Inclusión de Conjuntos.

ii ¿ A∪(B∪C)⊂(A∪B)∪C?

∀x∈[A∪(B∪C)]⇒x∈A∨x∈(B∪C), por definición del unión de conjuntos
⇒x∈A∨(x∈B∨x∈C), por definición del unión de conjuntos
⇒(x∈A∨x∈B)∨x∈C, por ley lógica de asociatividad de la disyunción inclusiva
⇒x∈(A∪B)∨x∈C , por definición del unión de conjuntos
⇒x∈[(A∪B)∪C] , por definición del unión de conjuntos
∴∴Se demuestra que A∪(B∪C)⊂(A∪B)∪C , por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que (A∪B)∪C=A∪(B∪C), por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

• Elemento Neutro: Para la Unión de Conjuntos, dado cualquier conjunto A subconjunto del Conjunto Universal se cumple que el elemento neutro de A es el Conjunto Vacío, lo cual se expresa en símbolos de la siguiente manera:

Si A⊂U se tiene que A∪∅=∅∪A=A

La demostración de esta propiedad se deja como sugerencia para la audiencia. En resumen, en esta oportunidad hemos abordado los elementos teóricos de la Unión de Conjuntos tanto en el ámbito de la cotidianidad de los seres humanos como en contexto matemático propiamente dicho, con esto es importante recordar que la Matemática al tiempo que es una ciencia formal, de la misma manera es una expresión simbólica del quehacer humano, generada por éstos para la comprensión y mejoramiento de su realidad y existencia. Nos leemos en la próxima publicación.

La naturaleza está escrita en lenguaje matemático - Galileo Galilei .

Referencia

Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.

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