어제 기분이 꿀꿀하여 락 음악을 들으면서 제타(2) 계산을 해 보았다.

사실 가장 쉬운 버전으로 zeta(2n) 에 대한 계산법을 이전에 소개한 적이 있었다. [관련 포스팅 [수학, 계산] 제타함수 계산법 ]

그리고 응용으로

[[수학, 계산]zeta 4 : version 1 삼각함수 이용]
[[수학, 계산] zeta 4 : version 2 푸리에 전개]
[수학, 계산] zeta 4 : version 3 파사발 정리

를 썼었다. 사실 예제를 바로 zeta(2) 로 해도 되는데 너무 쉬운것 같아 zeta(4)를 계산해 본 거였는데... 기분도 꿀꿀하고 오랜만에 손맛도 좀 살펴볼까 해서 한번 zeta(2) 도 가볍게 계산해 보자.

제타 함수의 정의와 관련 계산 기본 테크닉들은 위의 포스팅들을 참조!
유도 과정을 적긴 하지만 가능한 compact 하게 서술할 생각임!

1. 삼각함수 이용

이 방법은 Euler 의 Original proof 이다. [[수학, 계산]zeta 4 : version 1 삼각함수 이용] 이 방법과 완전히 똑같다. 저기선 sin 과 sinh 을 이용했다면 여기선 sin 만 가지고 왔다리 갔다리 몇번 끄적이면 된다.

일단 sin 함수의 테일러 전개식을 써보자

그리고 Basel Problem 으로 부터, sin(x)/x 를 infinity product 로 표현한 식을 쓰고 전개해보자

위의 두 식의 x^2 계수를 비교하면 zeta(2) 값을 바로 읽어 낼 수 있다.

여담으로 Basel problem 으로 부터 짝수 항의 베르누이 수와 zeta(2n) 과의 관계식을 구할 수 있다.

먼저 zeta 함수에 관한 표현은 다음과 같은 계산을 통해 얻을 수 있다.

베르누이 수의 생성함수를 생각해보자

여기서 보이긴 조금 번거롭긴 한데, cot(x) 를 이 베르누이 수로 전개할 수 있다.

자 이제 결과를 비교하면

2 . 푸리에 전개와 파사발 정리

사실 파사발 정리 역시 푸리에 급수와 관련된 정리라 이번엔 하나로 묶었다.

똑같은 계산을 하는데, 푸리에 전개를 할 때에는 f(x) = x(1-x) 로 잡고, 파사발 전개를 할 때는 f(x)=x 로 잡고 계산하면 zeta(2) 를 얻을 수 있다.

푸리에 경우 구간을 편의상 [0,1] 로 잡자(사실 저 test function 이 구간 때문에 setting 한 것이다)
그러면

x=0 을 집어넣으면 바로 zeta(2) 가 나오고 x=1/2 를 집어넣으면 조금 계산을 하여 정리하여 zeta(2) 를 구할 수 있다.

파사발은 더 쉽다. f(x)=x 이기에, parity 때문에 a_n=0 이 나온다.

니 파사발 정리에 대입하면

3. 미적분학

사실 미적분학만 이용해서[다중적분과 영역변환을 알아야함, 다변수 미적분학] zeta(2) 를 구할 수 있다. Apostol의 방법인데

먼저

그 뒤 무한합을 하게 되면

이제 해야 될 일은 저 적분을 하는 것이다.

위 처럼 매개변수화 하면, 적분 영역은

중간 과정에

가 쓰였다.

4. 기타

그 외.. zeta(2) 는 zeta(2n) 중에서 간단한 편이라, 또 역사도 오래되어서 구하는 방법이 매우 많다. 1번에서 구한 cot(pi z) 의 표현식을 가지고 적절한 z 를 곱해 복소 적분으로도 구할 수 있다. (Residue 계산). 그리고 복소 해석을 쓰지 않고도 여러가지 해석학 기법으로도 zeta(2) 를 구할 수 있다.

리만 제타 함수의 zero 포인트와 관련되어 아주 유명한 가설이 있는데, 그것이 바로 리만가설이다. 흥미가 있다면 예전 포스팅 [수학, 책] 리만가설 을 참조하시길!

예전에 안 적었던 내시 관련 이야기를 조금 풀어보자면, 존 내시가 리만가설 100주년 해에 세미나를 잡았다. 내시는 이미 젊은 나이에 아주 유망한 수학자였다. 그 특별한 해와 날짜에 세미나를 잡자 다들 내시가 리만가설을 풀었을 것이라 생각했다. 수많은 기대를 하고 세미나실에 들어갔는데.. 내시가 미쳐버렸다 [횡설 수설로 세미나가 끝났다.]... 그 뒤 내시는 정신병 치료를 받고, 조현병(정신분열증)이 치료가 되고 나서야 자신이 젊었을 때 했던 수학이론 (Nash equilibrium) 으로 노벨 경제학상(1994)을 수상 했다. 그리고 2015년에 아벨상을 받았는데, 아벨상을 받고 얼마 뒤 교통사고로 세상을 떠났다... 참고로 사망일이 2015년 5월 23일...

뭐 5월 23일은 노벨 물리학상을 두번이나 받은 존 바딘의 생일이기도 하니; [관련 글 - [과학, 잡담] 노벨상을 두 번 받은 학자들 ]

아 생일 관련 문제도 하나 생각났네, 그것도 한번 정리해 보아야 겠다.