[수학, 계산] zeta 4 : version 2 푸리에 전개

이번에는 푸리에 전개를 이용해서 제타4 를 구하는 방법을 소개해 볼까 합니다. 먼저 함수 f(x) 의 푸리에 전개에 대해서 설명해 보도록 하죠, 푸리에 전개는 다름이 아니라 함수 f(x) 를 cos 과 sin 함수의 expansion 으로 적을 수 있다는 것으로 공학과 자연과학에 많이 쓰이는 테크닉 입니다.

f(x) 의 모양에 따라 계수들에도 다양한 성질들이 있는데 나중에 기회가 되면 다루어 보도록 하겠습니다. 대략적으로 말해보자면 f(x) 가 기함수의 경우 a_n=0 이 되고 f(x) 가 우함수의 경우 b_n =0 이 됩니다.

제타 4를 계산하기 위해 선택한 f(x) 는

로 우함수입니다.

앞의 항들은 x의 다항식에 관련된 적분이라 쉽게 적분을 할 수 있습니다. 뒤에 적분들은 어떻게 접근해야 할까요?

Leibniz integral Rule

Leibniz integral Rule 을 이용하면 쉽게 계산 할 수 있습니다.

몇가지 예를 들어 볼까요?

짝수 차수에 대해서 좀 더 일반화를 해 보면

이를 이용해서 원식에 대입해 봅시다.

자 이 식을 통해서 대입해 보면

이 식을 정리하면 우리가 원하는 제타 4에 대한 식을 얻습니다