[수학, 계산] 벡터 항등식-2탄 계산

지난 1탄 포스팅 에도 밝혔듯이 이번 포스팅에서는 계산을 통해 다음 식들을 얻어 보도록 하겠습니다.

여기서 A,B 는 벡터, f,g 는 스칼라를 나타냅니다.
자 이 16개 식에 대해서 찬찬히 살펴 봅시다. symobl 의 의미와 연산의 의미를 잘 파악하면 사실 그냥 단순 계산에 불과한 일입니다. 그래도 한번 자세히 풀어 살펴보도록 하죠. 수식들의 향연이 기다리고 있습니다;; ㅎㅎ

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• 1번

determinant 의 성질 중 하나 (짝수변 행 혹은 열 변환은 determinant 값을 변화시키지 않음)로 부터 자연스럽게 유도됩니다.

• 2번

정의에 따라서 계산하고 Levi-civita symbol 의 두개의 곱 중 하나의 index 가 같은 경우 적용

• 3번

먼저 3번에 앞서 curl 과 divergence 의 notation 을 적어 보면

즉 자동적으로 symmetric argument 에 의해 ( 미분 연산자, partial derivatives 의 commutes )

• 4번

스칼라 f 로 부터 gradient of scalar 는 벡터를 주기 때문에 로 표현할 수 있고 즉 3번과 같은 이유로

• 5번

한개의 인덱스가 반복되는 Levi-civita 두개의 곱으로 부터 자동적으로 얻음

• 6번

Lebiniz rule 에 의해서 (미분의 product rule) 자동적으로 얻음

• 7번

인덱스 re-labeling 과 한개의 인덱스가 반복되는 Levi-civita 두개의 곱 이용

• 8번
  product rule 이용
  

• 9번
  product rule 과 외적 정의 이용
  

• 10번
  product rule 과 외적 정의 이용
  

• 11번
  product rule 과 외적 정의, 한개의 인덱스가 반복되는 Levi-civita 두개의 곱 이용

• 12번
  외적 정의와 basis 관계 그리고 한개의 인덱스가 반복되는 Levi-civita 두개의 곱 이용

• 13번

• 14번

여기서는 det(A) = det(A^T) [ T 는 transpose ] 를 이용하여

• 15번

13번과 (외적의 성질) 에서 자동으로 유도

• 16번

이렇게 16개의 식을 한번 유도해 봤습니다. 일련의 과정을 통해 이런 계산이 익숙해지면 다른 벡터 항등식들도 같은 방법으로 쉽게 유도를 할 수 있을 것이라 생각합니다.