ECUACIONES POLINÓMICAS PARTE 3. La Ecuación General de Cuarto Grado, Solución Algebraica y utilización del Software Matemático WolframAlpha en la Búsqueda de Raíces

Saludos apreciados lectores de la comunidad científica de #stem-espanol, #steemstem y de Steemit en general, continuando con la serie de artículos sobre las ecuaciones polinómicas en esta ocasión abordaré el tema de la ecuación general de cuarto grado de una variable también llamada ecuación cuártica, su procedimiento de resolución algebraica y mediante el uso de la tecnología, es decir, la aplicación de un Sistema de Álgebra Computacional en la solución de la ecuación general de cuarto grado.

En este sentido, si bien las soluciones de las ecuaciones de tercer y cuarto grado son conocidas desde el siglo XVI, los artificios matemáticos que involucran en general son desconocidos para la mayoría de los estudiantes los cuales prefieren abordar los problemas prácticos utilizando otros métodos de aproximación.

Sin embargo, para el algebrista y para las personas interesadas en las soluciones exactas, los procedimientos algebraicos representan la única herramienta para alcanzar la verdad matemática, debido a esto la solución general de la ecuación de cuarto grado es un tema cuyo estudio permitirá comprender la naturaleza de diversos problemas matemáticos.

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La Ecuación General de Cuarto Grado de una Variable (Ecuación Cuártica)

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La forma general de la ecuación de cuarto grado de una variable es la siguiente

Donde a,b,c,d y e son números reales y a es distinto de cero (en caso de ser igual a cero se trataría de una ecuación de tercer grado). La ecuación cuártica tiene a lo sumo 4 raíces diferentes, las cuales pueden ser reales o complejas.

Como se mencionó en el artículo anterior las ecuaciones polinómicas pueden ser resueltas en algunos casos mediante la factorización por el método de Ruffini, sin embargo, cuando las raíces son números irracionales o fracciones complejas (en la mayoría de los casos) este método no puede ser aplicado.

Debido a estas limitaciones el presente artículo se centrará en resolver de forma general la ecuación cuártica, es decir, desarrollar un método que permita encontrar de forma algebraica todas las raíces tanto reales como complejas.

Este método fue desarrollado por el matemático italiano Lodovico Ferrari y fue publicado en el año 1545 por Gerolamo Cardano junto a la solución de la ecuación general de tercer grado en el libro Ars Magna cuyo nombre completo es Artis magnae, sive de regulis algebraicis y es considerado uno de los textos más importante en la historia de la matemática.

En la siguiente imagen se observa la representación en el plano cartesiano de una ecuación de cuarto grado.

Imagen N° 2. Ecuación de Cuarto Grado x⁴-11x³+41x²-61x+30=0 se observan las raíces en 1, 2, 3 y 5. Fuente: Elaboración propia utilizando www.desmos.com.

El primer paso para resolver una ecuación de cuarto grado consiste en eliminar el coeficiente de x al cubo, lo cual se logra al aplicar una pequeña sustitución conocida como Transformación de Tschirnhaus

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

Luego se dividen ambos miembros entre a obteniendo

Es decir, se convierte la ecuación general de cuarto grado

Mediante la sustitución

En una ecuación de cuarto grado reducida de la forma

Donde

Resolver la ecuación número 3 implica resolver la ecuación general de cuarto grado, debido a que se puede devolver el cambio para encontrar x.

Para resolver la ecuación de cuarto grado reducida

Aplicamos un ingenioso artificio, factorizamos dicha ecuación cuártica como el producto de dos ecuaciones cuadráticas

Esto es posible debido a que al desarrollar la expresión anterior se obtiene

Es decir, se puede establecer el siguiente sistema de ecuaciones

Ahora observamos que al elevar al cuadrado la ecuación 4 se obtiene

Restando cuatro veces la ecuación 6 resulta

Multiplicando por α²

Se observa también que al elevar la ecuación 5 al cuadrado se obtiene

Restando la ecuación 7 menos la ecuación 8

Sumando a ambos miembros α⁶

Extrayendo en el lado derecho factor común -2α⁴

Sustituyendo el valor de p de la ecuación 4 en la expresión anterior

Con lo cual se ha obtenido una ecuación de sexto grado, se podría pensar que se ha complicado más el problema, sin embargo, esta ecuación sólo tiene términos de grado par, por lo tanto se puede sustituir

Obteniendo

La cual es una ecuación de tercer grado que puede resolverse utilizando el procedimiento desarrollado por Scipione del Ferro y Niccolo Fontana que se estudió en el artículo anterior. Lo interesante del caso es que esta ecuación tiene por lo menos una solución real y sólo necesitamos encontrar una solución para resolver el problema, por lo tanto las otras dos soluciones se descartan (sean reales o complejas). Una vez encontrada la solución a la ecuación de tercer grado, es fácil hallar los valores de p, q y r, luego teniendo en cuenta que

Se resuelven las ecuaciones cuadráticas

Obteniendo los 4 valores de w, finalmente se sustituyen estos valores en la ecuación 2

Obteniendo las cuatro raíces de la ecuación de cuarto grado.

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Ejemplo

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Resuelva la siguiente ecuación de cuarto grado

Se aplica la Transformación de Tschirnhaus

Esta ecuación reducida se factoriza como el producto de dos ecuaciones cuadráticas

Las cuales cumplen la ecuación número 9

Que es una ecuación de sexto grado con sólo términos de grado par, puede simplificarse sustituyendo

Obteniendo

Resolviendo está ecuación cúbica mediante el procedimiento descrito en el artículo anterior o mediante factorización por Ruffini debido a que es una ecuación con raíces enteras, se obtienen las siguientes 3 raíces

Tomando cualquiera de los valores, por ejemplo t=4 se observa que

Tomando el valor positivo, y sustituyendo en las ecuaciones 4, 5 y 6

Luego se sustituye en la factorización

Se resuelven ambas ecuaciones cuadráticas

Y para la segunda ecuación cuadrática

Es decir, los cuatro valores de w son

Para encontrar la raíces de la ecuación original devolvemos el cambio

Obteniendo finalmente

Imagen N° 3. Ubicación de las raíces de la ecuación x⁴+4x³-x²-2x+(1/4)=0. Fuente: Elaboración propia utilizando www.desmos.com.

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Resolución mediante el Sistema de Álgebra Computacional (CAS) Wolfram Alpha

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Es importante conocer los fundamentos matemáticos en los que se basa el proceso de solución de la ecuación general de cuarto grado, sin embargo, en la práctica muchas veces sólo necesitamos los valores de las raíces, para encontrar dichos valores existen diversos programas, en el presente artículo se usará un potente sistema de álgebra computacional que nos arroja las soluciones mostrándolas de forma algebraica, se trata de Wolfram Alpha, una utilidad en línea que opera de forma simbólica, para introducir la ecuación del ejemplo anterior debemos escribirla en la siguiente forma

x^4+4x^3-x^2 -2x + 1/4 = 0

presionamos = y procedemos a observar la solución

Imagen N° 4. Gráfica de la ecuación de cuarto grado x⁴+4x³-x²-2x+(1/4)=0. Fuente: Elaboración propia utilizando www.wolframalpha.com.

Imagen N° 5. Raíces de la ecuación de cuarto grado x⁴+4x³-x²-2x+(1/4)=0. Fuente: Elaboración propia utilizando www.wolframalpha.com.

Se puede observar que las cuatro raíces encontradas por el sistema de álgebra computacional coinciden con las encontradas mediante el método de resolución.

CONCLUSIONES

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1. La ecuación general de cuarto grado por ser una ecuación polinómica de grado par tiene cuatro, dos o ninguna raíz real, es decir, no está garantizada la existencia de una solución real.
2. La ecuación de cuarto grado puede ser resuelta de forma algebraica, para alcanzar la solución se debe resolver una ecuación auxiliar de tercer grado.
3. Los Sistemas de Álgebra Computacional (CAS) permiten automatizar numerosos procedimientos matemáticos tanto numéricos como simbólicos.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS

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1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

2. Budnick (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 4ta edición Editorial Mc Graw Hill.

3. González (2018) ECUACIONES POLINÓMICAS PARTE 1. Las Ecuaciones Generales de Primer y Segundo Grado, Ejemplo de Aplicación.

4. González (2018) ECUACIONES POLINÓMICAS PARTE 2. La Ecuación General de Tercer Grado y su Aplicación en la Termodinámica (Estudio de los Gases Reales mediante la Ecuación de Van der Waals).

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