ECUACIONES POLINÓMICAS PARTE 1. Las Ecuaciones Generales de Primer y Segundo Grado, Ejemplo de Aplicación

in stem-espanol •  2 months ago

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Completación de cuadrados, procedimiento utilizado para resolver la ecuación general de segundo grado. Fuente: Elaboración propia.

Saludos estimados miembros de la comunidad científica de #STEEMSTEM y #STEM-ESPANOL, en el artículo que les comparto el día de hoy daré inicio a una serie de publicaciones enfocadas en las ecuaciones polinómicas, tratando de escribir material para todo público que pueda ser entendido por toda la comunidad de steemit sin descuidar las consideraciones matemáticas pertinentes. También se abordarán algunas notas históricas sobre la simbología utilizada en la resolución de este tipo de problemas.


Numerosos modelos del mundo real suelen ser representados en lenguaje matemático por ecuaciones de diferentes tipos, de esta forma resolviendo dicho modelo se puede llegar a las solución del problema real, en el presente artículo se abordarán los fundamentos matemáticos detrás de las ecuaciones del tipo más simple, las ecuaciones polinómicas, en primer lugar, introduzcamos algunos conceptos previos.

Una ecuación se define como una igualdad matemática entre dos expresiones que contiene una o más variables desconocidas, las variables desconocidas suelen llamarse incógnitas de la ecuación y muchas veces se representan por las letras x, y, z.

Por ser este el primer artículo de la serie se enfocará en un tipo específico de ecuaciones, las ecuaciones polinómicas también denominadas a veces ecuaciones algebraicas, las cuales son ecuaciones de la forma:

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Donde P(x) es un polinomio de grado n distinto de cero y no constante, si el lector no está familiarizado con el concepto de polinomio el mismo se puede definir como una expresión matemática formada por una suma finita de monomios, los cuales a su vez son términos formados por un coeficiente que multiplica a una o más variables elevadas a un exponente dado, para aclarar estas nociones se ejemplificará cada concepto.

Ejemplo de Monomio

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Ejemplo de polinomio

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Al hablar de ecuaciones polinómicas nos centraremos en las ecuaciones formadas por polinomios de una sola variable a la cual por convención denotaremos por x.

De esta manera las ecuaciones polinómicas de una variable serán de la forma

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Donde ai pertenece a R (es decir, es n número real) para todo valor de i

Se observa la presencia del término an el cual se suele denominar término independiente. Comprendiendo estas nociones se puede abordar el caso más simple de ecuación, el cual corresponde a la ecuación de primer grado de una variable.

Curiosidades Históricas

El símbolo = fue utilizado por primera vez por Robert Recorde (1510-1588) en 1557 por considerar que dos rectas paralelas son exactamente iguales, en relación al uso de la x para la incógnita hay diversas teorías una de las cuales plantea que los árabes se referían a la incógnita originalmente como la cosa "Shei" en árabe, la cual fue traducida al griego como "Xei" acortándose luego a la X que conocemos en la actualidad.

I Parte - La ecuación polinómica de primer grado de una variable


La forma general de esta ecuación es la siguiente

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Como puede observarse es una ecuación bastante elemental cuya solución se obtiene fácilmente mediante el siguiente despeje

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Por ejemplo

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Se puede apreciar que la ecuación de primer grado tiene una única solución la cual corresponde al corte en el eje de las abscisas de la línea recta que forma su gráfica.

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Imagen N° 1. Ecuación de primer grado 3x+9=0. Fuente: Elaboración propia utilizando www.desmos.com

II Parte - La ecuación polinómica de segundo grado de una variable


La forma general de la ecuación de segundo grado (también llamada ecuación cuadrática) de una variable es la siguiente

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Donde a, b y c son números reales y a es distinto de cero (en caso de ser igual a cero se trataría de una ecuación de primer grado). Existen diversos métodos para resolver esta ecuación, a continuación se estudiarán los fundamentos de dichos métodos.

Fórmula de resolución

La mayoría de las personas resolverían la ecuación de segundo grado utilizando una fórmula de resolución muy conocida, sin embargo, muchas de estas personas desconocen la justificación matemática de dicha fórmula, la cual puede obtenerse de la ecuación general de segundo grado mediante unos sencillos pasos:

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Se dividen ambos miembros de la ecuación entre (a)

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Se suma a ambos miembros b2/4a2 para mantener la igualdad matemática

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Se reordena

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Se observa que el lado izquierdo de la igualdad tiene la forma del producto notable

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Por lo tanto puede sustituirse por

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El cuadrado del lado izquierdo pasa como raíz cuadrada al lado derecho tomando en consideración la raíz positiva y la negativa

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Despejando

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Obteniendo de esta manera, la fórmula para resolver la ecuación general de segundo grado, se puede observar que esta expresión genera dos raíces las cuales pueden ser diferentes o iguales.

De forma visual se aprecia el proceso anterior en la siguiente imagen

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Imagen N° 2. Completación de cuadrados para resolver la Ecuación general de segundo grado. Fuente: Elaboración propia.

Este proceso se conoce como completación de cuadrados, se observa que la suma de los primeros tres cuadrados corresponde con la primera parte de la ecuación general de segundo grado al dividirla entre el coeficiente a

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Para convertir esta expresión en un cuadrado perfecto de debe añadir el pequeño cuadrado con bordes rojos que se aprecia en la imagen, el cual tiene área igual a

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De esta forma se puede construir un cuadrado perfecto en base al cual obtener la solución a la ecuación general de segundo grado.

Consideraciones sobre las raíces

La naturaleza de la solución está determinada por el valor de la cantidad subradical de la fórmula de resolución (también denominada discriminante)

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Caso 1

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En este caso la ecuación de segundo grado posee dos soluciones diferentes, ejemplo

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Imagen N° 3. Caso 1: Raíces reales diferentes, dos cortes en el eje x. Fuente: Elaboración propia utilizando www.desmos.com.

Caso 2

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En este caso la ecuación de segundo grado posee una única solución real, ejemplo

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Imagen N° 4. Caso 2: Raíz real doble, un solo corte en el eje x. Fuente: Elaboración propia utilizando www.desmos.com.

Caso 3:

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En este caso la ecuación de segundo grado posee dos soluciones diferentes, sin embargo, dichas soluciones no son números reales, sino que pertenecen al conjunto de números complejos, ejemplo

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Como en la raíz cuadrada obtuvimos en la cantidad subradical un número negativo, debemos usar la unidad imaginaria la cual es equivalente a la raíz cuadrada de -1

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Imagen N° 5. Caso 3: Raíces complejas diferentes, no hay corte en el eje x. Fuente: Elaboración propia utilizando www.desmos.com.

Aplicación de la ecuación de segundo grado

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Imagen N° 6. Representación de la parcela a cercar. Fuente: Elaboración propia.

El dueño de un terreno desea cercar una parcela de forma rectangular y con un área de 5.000 m2, teniendo en cuenta que en uno de los lados no colocará cerca debido a que el río discurre en línea recta por dicho lado y que para los otro tres lados dispone de 250 metros de cerca, calcule las dimensiones de cada lado de la cerca.


Por tratarse de un rectángulo su área es igual a la base por la altura

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Donde b es base y h altura, como el área debe ser igual a 5.000 m2

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Como se sabe que el largo de la cerca se distribuirá entre los tres lados del rectángulo (omitiendo el lado del río, el cual corresponde con la base)

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Sustituyendo en la ecuación del área

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En forma general

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Resolviendo

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Los resultados obtenidos reflejan que hay dos maneras de cercar la parcela de terreno, en la primera, la altura del rectángulo es de 100 metros y en la segunda de 25 metros, en cada caso la base del rectángulo mide

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Es decir, se forma un rectángulo de 100mx50m o de 25mx200m, ambas soluciones poseen un área de 5.000 m2.

Conclusiones y Observaciones

  1. Las ecuaciones polinómicas poseen una gran variedad de aplicaciones en la vida cotidiana, en áreas como la economía, ingeniería y optimización.
  2. La ecuación general de primer grado siempre tiene una única solución real, la cual puede encontrarse de forma elemental.
  3. La ecuación general de segundo grado tiene una o dos soluciones reales o bien un par de soluciones complejas. la existencia de soluciones reales o complejas dependerá del signo del discriminante.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS


  1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

  2. Budnick (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 4ta edición Editorial Mc Grall Hill.


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Gracias por hacerme recordar las matemáticas. Veo que usas www.desmos.com para los gráficos. Es fácil su uso?

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Gracias por el apoyo @marcusantoniu26. Si, es muy intuitivo y fácil, también es una de las herramientas más potentes que he visto para realizar gráficas, Saludos.

Felicidades amigo, tenias tiempo sin compartir tus conocimientos matemáticos... Ese tema es fundamental en liceo.

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Gracias amiga.

Muy profundo para mi cerebro jajaja!!

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Oh, gracias por el apoyo @rodyservi.



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Excelente amigo @vdavgonzalez, muy bien explicado y detallado, hace mucho que no veía algo relacionado a esta fórmula matemática. Es de gran utilidad para infinidades de cosas. Saludos.

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Gracias por el apoyo @fran.frey, saludos.

Excelente material. Como dices entendible para todo público y posible uso por los docentes para trabajar en el aula.

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Gracias, Fabiel, Saludos.

Hi @ydavgonzalez!

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Excelente publicación @ydavgonzalez, tu explicación muy detallada y fácil de entender. Te agradezco por compartir, ya que es una información importante no solo para los estudiantes de secundaria, sino que es esencial a nivel universitario, por lo menos en el caso de la rama de ingeniería.

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Así es, estimada @francyrios75, saludos.

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