Ecuaciones Polinómicas Parte 2. La Ecuación General de Tercer Grado y su Aplicación en la Termodinámica (Estudio de los Gases Reales mediante la Ecuación de Van der Waals)

in stem-espanol •  2 months ago

Apreciados seguidores de Steemit y miembros la comunidad científica #STEEM-STEM y de las subcomunidad de habla hispana #STEM-ESPANOL continuando con el estudio de las ecuaciones polinómicas, su resolución y aplicaciones, el día de hoy les comparto un artículo enfocado en el procedimiento de solución algebraica de la ecuación general de tercer grado, el cual a pesar de ser desconocido por la mayoría de las personas ha tenido una gran importancia en el desarrollo histórico del álgebra y en la comprensión de la naturaleza de las ecuaciones polinómicas.


La Ecuación de Van der Waals sobre los gases es una de tantas aplicaciones de la Ecuación de Tercer Grado. Fuente: Werner(2012), Imagen de Dominio Público bajo licencia CC0. Disponible en Pixabay.

En el artículo anterior se analizaron los fundamentos matemáticos detrás de las ecuaciones de primer y segundo grado, la solución a estas ecuaciones es conocida desde la antigüedad por los habitantes de Mesopotamia, sin embargo, en el caso de la ecuación de tercer grado también conocida como ecuación cúbica a pesar de tratarse de un problema de fácil planteamiento, su solución requirió el desarrollo de nuevas herramientas matemáticas.

De esta forma, la solución a la ecuación cúbica sólo pudo ser descubierta a mediados del siglo XVI por los matemáticos Scipione del Ferro y Niccolo Fontana (Tartaglia), sin embargo, el autor que terminó publicándolas fue Gerolamo Cardano en su libro Ars Magna en 1545 obra que marco un punto de inflexión en el desarrollo de las matemáticas.


La Ecuación General de Tercer Grado de una Variable (Ecuación Cúbica)


La forma general de la ecuación de tercer grado de una variable es la siguiente

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Donde a,b,c y d son números reales y a es distinto de cero (en caso de ser igual a cero se trataría de ecuación de segundo grado). Muchas personas afirmarán que una ecuación de esta forma puede ser resuelta mediante la Factorización por Ruffini, sin embargo, dicho método sólo puede ser aplicado cuando se tiene una idea del valor de la raíces (en caso de que sean números enteros o fracciones), es decir, en muy pocos casos, debido a esto se debe buscar un método más eficaz para resolver dichas ecuaciones.

Existen diversos métodos numéricos que pueden ser utilizados para aproximar la solución de la ecuación cúbica (como por ejemplo el Método de Newton), estos métodos son bastante eficientes en aplicaciones prácticas aunque en algunos casos divergen y no encuentran la solución.

Debido a las limitaciones de los métodos mencionados anteriormente el problema se centra en encontrar un procedimiento que permita resolver la ecuación de tercer grado de manera algebraica, es decir, encontrar fórmulas que mediante operaciones algebraicas (suma, multiplicación, potenciación, radicación, …) permitan hallar las raíces de una ecuación de tercer grado.

Respecto a la naturaleza de las soluciones se puede mencionar que siempre existe por lo menos una solución real, aunque podrían existir dos o a lo sumo tres raíces reales. En la siguiente imagen se puede apreciar un caso en el que existen tres soluciones reales:

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Ecuación de Tercer Grado x3-11x2+38x-40=0 se observan las raíces en 2, 4 y 5. Fuente: Elaboración propia utilizando www.desmos.com.

El primer paso para resolver una ecuación de tercer grado consiste en eliminar el coeficiente de x al cuadrado, lo cual se logra al aplicar una pequeña sustitución conocida como Transformación de Tschirnhaus

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Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

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Dividiendo ambos miembros entre a se obtiene la forma reducida

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Es decir, una nueva ecuación cúbica de la forma

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Donde

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Solucionar esta ecuación implica resolver la ecuación general de tercer grado, debido a que al encontrar el valor de w se puede sustituir en (2) para hallar x.

Para encontrar el valor de w se asume la existencia de dos números (reales o complejos) cuya suma sea igual a w, es decir

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Sustituyendo la ecuación 4 en la ecuación 3 resulta

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Anteriormente se asumió que u más v es igual a w, ahora se asumirá que u y v también cumplen la siguiente relación

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Esto es perfectamente válido mientras se acepte que u y v pueden ser números complejos, sustituyendo (6) en (5)

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Como

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Entonces

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Es decir, se han obtenido dos ecuaciones donde las incógnitas son u3 y v3

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Despejando u3 en (8)

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Y sustituyendo en (7)

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Multiplicando por v3

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Haciendo un cambio de variable v’=v3

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Resolviendo está ecuación de segundo grado

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Ahora obtenemos u3 recordando la ecuación 7

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Con lo cual podemos ver que las fórmulas para u3 y v3 son las mismas, esto es así, debido a que dados un par de valores (u,v) que satisfacen w=u+v podemos intercambiarlos de posición ya que la suma es conmutativa, sin embargo, para que se cumpla la ecuación 7

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Se observa que esta igualdad solo puede ser verdadera si

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o

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En cuyo caso las raíces cuadradas se simplifican al sumarse, podemos asumir cualquiera de las dos combinaciones como correcta, tomando los primeros valores se observa que

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Sustituyendo estos valores en la ecuación 4

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Una ecuación de tercer grado tiene a lo sumo tres raíces diferentes las cuales pueden calcularse tomando en cuenta que al resolver en la fórmula anterior cada número real o complejo dentro de la raíz cúbica tiene tres raíces en el campo de los números complejos.

De forma general la cantidad subradical dentro de la raíz cúbica pertenece al cuerpo de los números complejos, para los cuales su raíz cúbica se calcula representándolos en forma polar.

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De esta forma se obtiene la representación del número complejo en forma polar

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También abreviada como

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Una vez obtenido el módulo y el argumento se calculan las tres raíces cúbicas con la siguiente fórmula

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Para obtener el valor de w en la ecuación 9 se deben sumar las raíces cúbicas de u3 y v3 teniendo cuidado de sumar específicamente las siguientes raíces.

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Finalmente se devuelve el cambio de w a x utilizando la ecuación 2, las siguientes fórmulas resumen el procedimiento.

Dada

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Se calcula

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Teniendo cuidado al sumar las raíces cúbicas complejas que correspondan.


La Ecuación de Estado de Van der Waals



Fuente: Werner(2012), Imagen de Dominio Público bajo licencia CC0. Disponible en Pixabay.

Una de las aplicaciones de la ecuación cúbica se presenta en relación a la llamada ley de los gases reales específicamente en la Ecuación de Estado de Van der Waals la cual es una expresión que se utiliza para describir la conducta de los gases reales a bajas presiones, esta ecuación se plantea de la siguiente forma:

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Donde:

P: Presión del fluido (en Atmósferas)
V: Es el el volumen molar
a: Es una constante que mide la atracción entre las partículas
b: Volumen disponible de un mol de partículas
n: Número de moles
R: Constante universal de los gases ideales
T: Temperatura en Kelvin

Ejemplo:

Utilizando la ecuación de Van der Waals determine el volumen que ocuparían 2 moles de (C2H3)S a 82 °C y 1 Atmósfera de presión, Suponga que a=15 dm6atm/mol2 y b=0,1 dm3/mol, asumiendo el valor de la constante universal de los gases ideales como R=0,08 dm3atm/K*mol.

Al sustituir en la Ecuación de Van der Waals

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Multiplicando ambos miembros por V2

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Esta es la ecuación que debemos resolver para determinar el volumen ocupado por los 2 moles de (C2H3)S.

Aplicamos la transformación

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Obteniendo una ecuación de la forma

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Donde

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Es decir

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Luego aplicamos las fórmulas para encontrar el valor de w

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Ahora calculamos la raíz cúbica de cada uno de los dos números complejos, recordando que la primera cantidad subradical es u3 y la segunda v3 según se explico en la sección anterior

Para u3

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En forma polar

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Una vez obtenido el módulo y el argumento se calculan las tres raíces cúbicas con la siguiente fórmula

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Obteniendo las siguientes raíces cúbicas

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Que al convertirlas a forma rectangular se obtiene

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Para v3

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Pasando a forma polar

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Una vez obtenido el módulo y el argumento se calculan las tres raíces cúbicas con la siguiente fórmula

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Obteniendo las siguientes raíces cúbicas

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Que al convertirlas a forma rectangular resulta

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Ahora para obtener w se combinan las raíces cúbicas de la siguiente forma:

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Finalmente para obtener x se sustituye en

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Obteniéndose

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En la aplicación de la Ecuación de Van der Waals el mayor valor se toma como el volumen molar del gas, por lo tanto, se considera que la solución al problema planteado es

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Es decir, los 2 moles de (C2H3)S ocuparán un volumen de aproximadamente 55,93 dm3.

De esta forma se pudo apreciar la aplicación del procedimiento de resolución de la ecuación cúbica en un problema de termodinámica sobre el estado de los gases. Esta es solo una de las muchas aplicaciones prácticas de la ecuación de tercer grado y en general de las ecuaciones polinómicas.


CONCLUSIONES Y OBSERVACIONES


  1. La ecuación cúbica por ser una ecuación polinómica de grado impar tiene por lo menos una solución real.
  2. La ecuación de tercer grado puede ser resuelta de forma algebraica, aunque todas las raíces sean números reales se debe operar con números complejos para poder llegar a la solución.
  3. Al momento de resolver la ecuación de tercer grado la radicación de números complejos se realiza representándolos en forma polar.
  4. La ecuación de estado Van der Waals que describe el comportamiento de los gases reales a bajas presiones es un modelo teórico muy usado en aplicaciones prácticas.
  5. La solución de la ecuación de tercer grado preparó el camino para el estudio de la ecuación de cuarto grado, la cual debe reducirse primero a una ecuación cúbica, este procedimiento se estudiará en un próximo artículo.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y LECTURAS RECOMENDADAS


  1. Anton, Bivens y Davis (2010), Cálculo de una variable, Trascendentes tempranas. 2da edición Editorial Limusa Willey.

  2. Budnick (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 4ta edición Editorial Mc Grall Hill.

  3. González (2011) Ecuación de Van der Waals.

  4. González (2018) ECUACIONES POLINÓMICAS PARTE 1. Las Ecuaciones Generales de Primer y Segundo Grado, Ejemplo de Aplicación.


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La historia de la ecuación de 3er grado, y del enfrentamiento entre Tartaglia y Cardano al respecto, es fascinante.

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Así es, debido a que Cardano había prometido no publicar el método desarrollado por Tartaglia y sin embargo, no cumplió su promesa y lo publicó en su obra Ars Magna. Saludos @severianx.

Esto se pone complicado...

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La solución a la ecuación de tercer grado se basa en ciertos artificios matemáticos, los cuales pueden ser laboriosos a veces, gracias por el apoyo @marcusantoniu26.



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Epale. Muy bueno paso a paso, pero me di cuenta que debo repasar algo de matemática en caso de que llegue a necesitarla en algún momento. :D Saludos.

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Gracias @fran.frey es cuestión de estudiar el procedimiento con calma.

Muy importante este aporte de la ecuación polinómica de tercer grado aplicada a la ley de gases reales de la ecuación de Van der Waals, me hace recordar cuando estaba en la universidad estudiando ingeniería de petróleo, cuando me tocaba encontrar "Z" es decir (el factor de compresibilidad del gas) lo hacía algunas veces por papay si cumplía con las limitantes, sino aplicaba el método de Van der Waals. Todos los cálculos los realizaba a mano, ya que no poseía de una calculadora científica HP del momento. Gracias por compartir este gran post con la comunidad. Saludos @ydagonzalez.

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Gracias por el apoyo @carlos84, interesante tu experiencia con el factor de compresibilidad de los gases.