Analisi complessa in pillole (v)

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L'ultima volta mi sono fermato a qualche proposizione sulle funzioni armoniche, oggi vedremo alcune definizioni di base compresa quella di una 1-forma differenziale.

Public Domain.

Definizione: Cammino (path).

Un cammino in ℝ è una funzione continua γ: [a,b] → ℝ^2 ovvero da un chiuso al piano reale. Inoltre presi due cammini t.c. il punto finale del primo è posto uguale al punto iniziale del secondo questi possono essere intesi come un cammino solo (per esempio γ1: [a,b] → ℝ^2 e γ2: [c,d] → ℝ^2 t.c. γ1(b)=γ2(c) possono essere intesi come γ unico).

Definizione: Funzione C∞ (o liscia)

Una funzione si dice C∞ (detto c infinito) in un punto se è differenziabile infinite volte in quel punto (ovvero derivabile infinite volte rispetto a ogni variabile nel punto). Se è C∞ in tutti i punti di un insieme A allora f ∈ C∞(A) (ovvero f è C∞ su A).

Definizione: 1-forma differenziale.

Detta anche 1-forma, è un'espressione definita su un aperto U ⊆ ℝ^2 della forma:

ω= P(x,y) dx + Q(x,y) dy

con P,Q: U → ℝ funzioni C∞.

Osservazioni.

Possiamo integrare una 1-forma differenziale su un cammino γ se è C∞ e γ([a,b]) ⊆ U.

Definiamo così l'integrale:

Realizzata con LaTeX base dall'autore.

L'integrale è definito anche per curve C∞ a tratti (ovvero un'unione finita di curve C∞).

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Teorema di Gauss-Green.

Sia D dominio chiuso e limitato in ℝ^2 il cui bordo δD sia l'unione di curve C∞ a tratti orientato in modo che percorrendo la curva il dominio si trovi sulla sinistra.
Sia ω una 1-forma differenziale definita in un intorno di D, ω= P(x,y) dx + Q(x,y) dy .

Allora:

Realizzata con LaTeX base dall'autore.

Questo teorema è di fondamentale importanza perché viene usato più avanti per dimostrare risultati di una grande rilevanza.