Abbiamo visto l'ultima volta la definizione di derivata complessa che coincide con quella di derivata reale, vediamo adesso che le regole che valgono nei reali ℝ valgono anche nei complessi ℂ .

1. Se f: A → ℂ è derivabile in z * allora ∀ z∈ℂ vale (z * f)'(z) = z * f'(z) ovvero z*f è derivabile.

2. Se f: A → ℂ e g: A → ℂ sono derivabili in z* allora f+g, f*g, f ° g (che sarebbe f composto g, ovvero a una variabile z si applica prima g e dopo f), f/g sono tutte derivabili in z *.

3. Se f: A → ℂ è derivabile in z *allora f(z) è anche continua z *.

Definizione: f analitica (equivalente a olomorfa).

Sia f: A → ℂ funzione con A aperto, f si dice analitica se:

1. f è derivabile in z ∀ z ∈ A (con la definizione di derivata data nel precedente post, ovvero quando esiste il limite del rapporto incrementale).
2. la funzione f che porta z in f'(z) (ovvero la sua derivata) è continua.

Esempi di funzioni analitiche sono le funzioni polinomiali, funzioni costati (ad esempio f=c dove c è un valore e per questo la funzione si dice costante, dato che ad ogni z associa c), anche la funzione identità (ovvero quella per cui f(z)=z), la funzione e^z è analitica. Un esempio di funzione non analitica è la funzione che porta z nel suo coniugato, per dimostrarlo si calcola il limite per z che tende a z* da due direzioni distinte e si mostra che i limiti sono diversi, dunque il limite non esiste (e quindi non è derivabile).

Definizione, funzione differenziabile.

Il concetto di funzione differenziabile si può dare con una condizione sufficiente: preso A aperto di ℝ^n , x* ∈ A e la funzione f: A → ℝ tale che la palla B(x *,r) (è semplicemente la palla di centro x * e di raggio r) contenuta in A esista e siano continue le n derivate parziali ∀ x ∈ B. In questo caso f è differenziabile, preso λ (Lambda) = f'(z *) e Δz = (z-z *) il differenziale è dato da Δz → λΔz .

Sistema di equazioni di Cauchy Riemann

Per vedere se una funzione f è analitica ci torna molto utile il sistema di equazioni di Cauchy Riemann, infatti se una funzione rispetta tali equazioni è analitica.

Questo il sistema:

I simboli matematici non sono coperti da copyright per ovvie motivazioni.

Quindi presa per esempio la funzione a valori complessi f=u+iv (dove u e v sono funzioni a valori reali), basta verificare che la derivata parziale di u rispetto a x sia uguale alla derivata parziale di v rispetto a y, la derivata parziale di u rispetto a y sia uguale a meno la derivata parziale di v rispetto a x.

Esempio.

Se per esempio prendete la funzione f=x+iy (dove il primo elemento è in realtà u(x,y) e il secondo v(x,y)) facendo le derivate parziali troverete che u rispetto a x fa 1 e v rispetto a y fa 1 anche questo, quindi sono uguali.
Inoltre u rispetto a y fa 0 e u rispetto a x fa 0 pure questo, dunque la funzione è analitica perché rispetta il sistema di equazioni di Cauchy Riemann.

P. S.

Tutto ciò scritto nel post è realizzato sul momento, se doveste notare degli errori vi sarei grato di farmelo notare nei commenti o in privato, anche se rileggo il post capita di sbagliare.