Analisi Complessa in pillole (ii)

in ita •  5 months ago

Nel post precedente abbiamo visto una definizione base di funzione e una prima presentazione dei numeri complessi z. Ho scritto che possiamo visualizzare i complessi sul piano cartesiano, in questo disegno potete vedere direttamente una rappresentazione di z=x+iy


Creative Commons.

Definiamo x come la parte Reale di z e y la parte Imaginaria di z ∈ ℂ (dove questo indica z appartente a ℂ, campo dei numeri complessi).

Uno dei primi passi è definire la funzione esponenziale e^k che può essere analizzata sia quando k è reale sia quando è complesso. Definiamo la funziona esponenziale come limite di una successione come segue:


I simboli che definiscono e^k come il limite per k che tende a infinito della successione.

La differenza tra questa funzione con k reale o complesso sta nel fatto che ℂ al contrario di ℝ non è un campo ordinato.
Abbiamo comunque davanti una successione di Cauchy, a proposito cosa è una successione di Cauchy?
Presa una successione a(n) diciamo che è di Cauchy se (per ogni)∀ε>0 ∃(esiste) N > 0 t.c.(tale che) ∀ coppia n,m > N si ha in valore assoluto |a(n)-a(m)|<ε . In soldoni al variare degli indici la distanza tende a zero.

Diciamo che se una successione è di Cauchy allora è limitata (diremo che una successione a(n) è limitata se esistono due valori x e X tale che x<a(n)<X ovvero la nostra successione ∀ n è compresa tra due valori x e X con x<X).

Ogni successione convergente (ovvero che ammette un limite finito come visto sopra nella definizione di e^k) è di Cauchy e dunque ogni successione di Cauchy è convergente.

Possiamo definire la funzione esponenziale anche a valori complessi e^z, infatti per un teorema sappiamo che e^z+ω = e^z+e^ω.

La definizione di funzione derivabile complessa non differisce dalla definizione usata per i reali, preso un aperto A ⊂ ℂ (dove ⊂ indica "contenuto in", un insieme si definisce aperto quando per ogni suo punto è possibile trovare un intorno del punto ancora contenuto nell'insieme), una funzione f: A → ℂ e un punto z(0) ∈ A. Si definisce derivata di f nel punto z(0) il limite per z che tende a z(0) del rapporto incrementale di f ovvero f(z)-f(z(0))/z-z(0), se esiste.

Si indica come nel caso reale con f’(z(0)).


Per oggi è tutto, vedremo che anche con i complessi valgono le proprietà elementari delle funzioni derivabili reali.

P. S.

Tutto ciò scritto nel post è realizzato sul momento, se doveste notare degli errori vi sarei grato di farmelo notare nei commenti o in privato, anche se rileggo il post capita di sbagliare quando tratto questo argomento.


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Questi sono post che sarebbe veramente carino tradurre e mettere su @davinci.polyglot. Che ne pensi?

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Penso che è una buona idea, anche se non so come funziona il meccanismo :D

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Se sei d'accordo scrivimi in serata su discord.
Ti spiego meglio.

Che tu sappia esiste, o per lo meno hanno provato a costruirla, una estensione dell'insieme dei numeri complessi? Ovvero trovare un altro insieme più grande di cui C sia sottoinsieme?

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La tua domanda è stata sicuramente posta nei secoli passati quando ci si chiedeva che senso aveva una estensione dell'insieme dei numeri reali. La mia risposta è si (IMO) MA qua entriamo nel campo della ricerca matematica dove bisogna inventare qualcosa di nuovo e che abbia un senso, ma soprattutto su cui si possano costruire delle teorie logico-matematiche.

I numeri complessi hanno avuto molta opposizione e c'è voluto molto tempo prima di arrivare a quello che possiamo studiare oggi sulla teoria dei complessi, dell'analisi e di tutti gli ambiti in cui vengono adoperati giornalmente. Probabilmente una teoria con dei numeri mai visti prima che abbiano senso di esistere può essere sviluppata, ci vorrebbe un Gauss, un Cardano o un Tartaglia di turno.