Números complejos/Definición, operaciones y sus propiedades elementales
Fuente
Problematización
Este fue un problema que se resolvió siguiendo la lógica de los siguientes procesos por los cuales ha pasado la matemática.
¿Cómo?
Reconozcamos que la matemática ha ido en proceso de construcción en la medida que el cerebro humano ha ido exigiendo explicaciones y significantes para la realidad que lo rodea, por ello ha crecido y seguirá creciendo. Debido a esta necesidad han surgido los conjuntos numéricos.
Justificación
Así como hubo la necesidad de ampliar a los números naturales para que aparecieran los números enteros , debido a la imposibilidad de resolver sustracciones donde el minuendo era menor que el sustrendo ( a-b, donde a<b); más adelante se amplió para que apareciera , debido a la insuficiencia de los enteros para contener el resultado de donde a no es divisible por b (con ). Pero a pesar de existir un conjunto que reunia las expresiones decimales periodicas y no periodicas que resultan de dividir dos números enteros, existian otros numeros cuyas expresiones decimales eran ilimitadas no periódicas cuyo resultado no provenia de la división de dos numeros enteros, por lo cual hubo la necesidad de crear un nuevo conjunto que los contuviera, tal comjunto es , el cual agrupara a los números como , es decir, los números irracionales. Siguiendo esta tradición, así se crea , el conjunto de los números complejos, con la finalidad de dar solución al problema planteado inicialmente.
En este conjunto, los números tienen la forma a + bi, donde a es la parte real (número real) y bi es la parte imaginaria constituida por un número real b multiplicado por i, donde casualmente i= recibe el nombre de unidad imaginaria y cumple con la particularidad de que i2=-1
El nombre de este conjunto se debe a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien los definió y usó en su demostración del teorema fundamental del Álgebra.
Los números complejos tienen importantes aplicaciones tanto en la ingeniería electrónica como en mecánica cuántica, más adelante hablaremos de ellas.
Un número complejo se denota por la la variable compleja z, es decir que z= a + bi
Ejemplos de números complejos:
Número | Real | Complejo |
---|---|---|
2 | Sí | Sí, ya que 2=2 + 0i |
Sí | Sí, ya que = + 0i | |
Sí | Sí, ya que = +0i | |
-4 + 7i | No | Sí, ya que tiene la forma z= a + bi con a=-4 y b=7 |
Observaciones:
El conjunto de los números complejos es un cuerpo donde se encuentran definidas las operaciones de adición y multiplicación:
Si entonces:
Conjugada de un número complejo
Si entonces es la conjugada de y se denota como . Y viceversa, es la conjugada de .
Propiedades de la conjugada:
Si . Ahora busquemos la conjugada de la conjugada, esto es:
Si entonces
Si entonces (recuerde que i2=-1).
Luego:
Por otro lado, desarrollemos: .
Esto es:
Con lo cual se verifica la igualdad.
Créditos:
Estructura de los objetos matemáticos realizados con la ayuda del Editor en línea de Ecuaciones LateX
La imagen es de dominio público.
Referencias utilizadas:
¡Felicitaciones!
Apoya al trail de entropía y así podrás ganar recompensas de curación de forma automática, entra aquí para más información sobre nuestro TRAIL.
Puedes consultar el reporte diario de curación visitando @entropia
Atentamente
El equipo de curación del PROYECTO ENTROPÍA
Saludos! @analealsuarez
Si estas interesada en tener la oportunidad de ganar 1,5 steem te invitamos a participar en nuestro primer concurso.
Para mayor información Abre este enlace
Gracias por la invitación @entropia,
Interesante...
Gracias @xjma.
¡Felicidades, #proconocimiento te valoró!
Has sido reconocido(a) por tu buen post por el Comité de Arbitraje y Valoración del Proyecto Conocimiento @proconocimiento.
Apoyamos y valoramos tu esfuerzo...
Proyecto Conocimiento es parte de la comunidad @provenezuela.
Pioneros en la plataforma #steemit en el reconocimiento y valoración a la Producción Intelectual en habla hispana.
Congratulations @analealsuarez! You have completed the following achievement on the Steem blockchain and have been rewarded with new badge(s) :
Award for the number of upvotes
Click on the badge to view your Board of Honor.
If you no longer want to receive notifications, reply to this comment with the word
STOP
Do not miss the last post from @steemitboard:
Excelente tu artículo @analealsuarez. Muy bien explicado. Me encanta la forma tan sencilla en la que explicas estos tópicos. Saludos.
Gracias @eliaxis. Muy agradada con tus palabras.
La complejidad llevada con simpleza. Me agrada como explicas los conceptos. Y como siempre, muy bien documentada. Saludos amiga :)
Gracias @lucioni, siempre tan agradables tus comentarios.
Por nada Ana, es un gusto leerte. Cuídate y continúa con la calidad de tus artículos :)
@analealsuarez, thank you for supporting @steemitboard as a witness.
Here is a small present to show our gratitude
Click on the badge to view your Board of Honor.
Once again, thanks for your support!
Do not miss the last post from @steemitboard: