Números complejos/Definición, operaciones y sus propiedades elementales

in castellano •  10 days ago


Fuente

Problematización

Todos sabemos que no existe la raíz cuadrada de un número negativo; intuitivamente, la explicación de esto se debe a que es imposible conseguir un número que multiplicado por si mismo nos de un número negativo. Por ello, a veces nos encontramos con ecuaciones que no tienen solución en los números reales, como por ejemplo x2 +1=0. Analíticamente podemos afirmar que es imposible su solución porque la suma de dos números positivos jamás nos puede dar cero. Con el fin de resolverla, cualquier principiante se vería tentado a despejar la x , resultando al final que x= .

Este fue un problema que se resolvió siguiendo la lógica de los siguientes procesos por los cuales ha pasado la matemática.

¿Cómo?

Reconozcamos que la matemática ha ido en proceso de construcción en la medida que el cerebro humano ha ido exigiendo explicaciones y significantes para la realidad que lo rodea, por ello ha crecido y seguirá creciendo. Debido a esta necesidad han surgido los conjuntos numéricos.

Justificación

Así como hubo la necesidad de ampliar a los números naturales para que aparecieran los números enteros , debido a la imposibilidad de resolver sustracciones donde el minuendo era menor que el sustrendo ( a-b, donde a<b); más adelante se amplió para que apareciera , debido a la insuficiencia de los enteros para contener el resultado de donde a no es divisible por b (con ). Pero a pesar de existir un conjunto que reunia las expresiones decimales periodicas y no periodicas que resultan de dividir dos números enteros, existian otros numeros cuyas expresiones decimales eran ilimitadas no periódicas cuyo resultado no provenia de la división de dos numeros enteros, por lo cual hubo la necesidad de crear un nuevo conjunto que los contuviera, tal comjunto es , el cual agrupara a los números como , es decir, los números irracionales. Siguiendo esta tradición, así se crea , el conjunto de los números complejos, con la finalidad de dar solución al problema planteado inicialmente.



En este conjunto, los números tienen la forma a + bi, donde a es la parte real (número real) y bi es la parte imaginaria constituida por un número real b multiplicado por i, donde casualmente i= recibe el nombre de unidad imaginaria y cumple con la particularidad de que i2=-1
El nombre de este conjunto se debe a Carl Friedrich Gauss (1777-1855) quien los definió y usó en su demostración del teorema fundamental del Álgebra.



Los números complejos tienen importantes aplicaciones tanto en la ingeniería electrónica como en mecánica cuántica, más adelante hablaremos de ellas.



Un número complejo se denota por la la variable compleja z, es decir que z= a + bi


Ejemplos de números complejos:

NúmeroRealComplejo
2Sí, ya que 2=2 + 0i
Sí, ya que = + 0i
Sí, ya que = +0i
-4 + 7iNoSí, ya que tiene la forma z= a + bi con a=-4 y b=7



Observaciones:

  • Todo número real es un número complejo, pero no todo número complejo es un número real. Es decir que .
  • Dos números complejos y si y solo sí a=c y b=d. Es decir, si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también lo son.

  • El conjunto de los números complejos es un cuerpo donde se encuentran definidas las operaciones de adición y multiplicación:
    Si entonces:

  • Conjugada de un número complejo

    Si entonces es la conjugada de y se denota como . Y viceversa, es la conjugada de .

    Propiedades de la conjugada:

  • La conjugada de la conjugada de z es la misma z
  • Veamos:
    Si . Ahora busquemos la conjugada de la conjugada, esto es:
  • La conjugada de la suma de números complejos es igual a la suma de las conjugadas
  • Veamos:
    Si entonces
  • La conjugada del producto de dos números complejos es igual al producto de las conjugadas.
  • Veamos:
    Si entonces (recuerde que i2=-1).
    Luego:

    Por otro lado, desarrollemos: .
    Esto es:

    Con lo cual se verifica la igualdad.



    Separador ana lealsuarez.jpg
    Créditos:

    Estructura de los objetos matemáticos realizados con la ayuda del Editor en línea de Ecuaciones LateX

    La imagen es de dominio público.

    Referencias utilizadas:

  • Frank Ayres, JR. 1978. Matrices.Ediciones McGraw-Hill.
  • Murray Spiegel.1971. Variable compleja.Ediciones McGraw-Hill
  • https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

  • ♣♣♣

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    Excelente tu artículo @analealsuarez. Muy bien explicado. Me encanta la forma tan sencilla en la que explicas estos tópicos. Saludos.

    ·

    Gracias @eliaxis. Muy agradada con tus palabras.

    La complejidad llevada con simpleza. Me agrada como explicas los conceptos. Y como siempre, muy bien documentada. Saludos amiga :)

    ·

    Gracias @lucioni, siempre tan agradables tus comentarios.

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    Por nada Ana, es un gusto leerte. Cuídate y continúa con la calidad de tus artículos :)

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