Analisi complessa in pillole (vi)

Per chi è interessato a questa serie di post, consiglio prima di leggere i precedenti dato che contengono le parti fondamentali per comprendere il seguito, ecco la lista:

Parti precedenti

https://steemit.com/ita/@charlesx/analisi-complessa-in-pillole-i-introduzione

https://steemit.com/ita/@charlesx/analisi-complessa-in-pillole-ii

https://steemit.com/ita/@charlesx/analisi-complessa-in-pillole-iii

https://steemit.com/ita/@charlesx/analisi-complessa-in-pillole-iv

https://steemit.com/ita/@charlesx/analisi-complessa-in-pillole-v

Avevo terminato l'ultimo post con il Teorema di Gauss-Green, di fondamentale importanza nell'analisi complessa (per chi è interessato conglio di cercare una dimostrazione su internet). In questo post scriver qualche definizione, principalmente sulle 1-forme differenziali, oltre a enunciare un nuovo teorema.

Definizione: Diffeomorfismo.

Un diffeomorfismo è una funzione f tra due insiemi aperti e connessi (ovvero tra due varietà differenziabili) tale che:

1. f sia differenziabile.
2. f sia invertibile.
3. l'inversa di f ovvero f^-1 sia differenziabile.

Public Domain.

Osservazione.

Presa la funzione f : U → ℝ C∞ posso associare a f la forma df = δf/δx dx + δf/δy dy che possiamo vedere come una forma differenziale. (ricordo che δf/δx rappresenta la derivata parziale di f rispetto alla variabile x)

Definizione: 1-forma esatta.

Sia ω una 1-forma, se per ω esiste f tale che ω = df (la forma differenziale descritta nella precedente osservazione), ovvero dove P = δf/δx e Q = δf/δy, allora ω si dice esatta.

Esempio di 1-forma esatta e non.

Presa xy dx + x^2/2 dy vediamo immediatamente che è esatta perché esiste f = x^2/2 * y

Presa xy dx vediamo che non è esatta, ci manca dy.

Osservazione.

Se la f che rende ω esatta esiste allora si chiama primitiva ed è unica a meno di costanti additive.

Definizione: 1-forma chiusa.

Una 1-forma si dice chiusa se δP/δy = δQ/δx , ovvero se δP/δy - δQ/δx = 0

Teorema sulla condizione dell'esattezza.

Siano ω una 1-forma differenziale, D dominio, allora:

Realizzato dall'autore, qua per esempio ho preso i cammini γ1, γ2 e γ3.