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Continuando con la temática geometría analítica plana, en donde, seguimos consolidando el fundamental aspecto analítica de las matemáticas, en esta oportunidad continuamos analizando el extraordinario nexo existente entre la grandiosa ciencia física y las matemáticas, esta última desde el punto de vista de la geometría analítica, por lo tanto, seguiremos conociendo algunos de muchos elementos fundamentales que comparten ambas ramas científicas, como lo pudimos demostrar en la primera y segunda parte de este fundamental nexo mediante el movimiento circular y el movimiento parabólico.

Comenzaremos con la descripción de esa importante figura geométrica denominada elipse la cual representa la trayectoria del fenómeno denominado movimiento elíptico, dicha figura juega un papel vital en el análisis de este movimiento, y como ya hemos expresado todo estudio relacionado a este impresionante fenómeno lo lleva a cabo la ciencia Física por medio de la cinemática.

El objetivo de este análisis es seguir resaltando el extraordinario y necesario nexo entre dos de las más grandes ciencias de la humanidad como lo es la física y la matemática.

Es importante tener siempre en cuenta que la física se ha alimentado indudablemente de sus propias raíces, y sin dudas la cinemática representa una de ellas, ya que esta última nos ha brindado como sabemos todos aquellos principios fundamentales relacionados al fenómeno del movimiento y como ya pudimos expresar en las pasadas publicaciones independientemente del tipo de fuerza que lo ocasione.

Para cualquiera de nosotros poder entender el fenómeno del movimiento en especial el elíptico, necesario es analizar la descripción de su trayectoria y la misma se encuentra representada por el lugar geométrico de una elipse, es aquí en donde seguimos refiriéndonos a la esencial ciencia de las formas y las figuras con la ayuda del lenguaje algebraico, es decir, la geometría analítica, esta sorprendente rama de las matemáticas que nos ha permitido dotar tanto a la física como a otras áreas del intelecto humano de cada uno de los distintos lugares geométricos implementados para el entendimiento del fenómeno antes mencionado, ya que pudimos comprobar esto con la circunferencia (movimiento circular) y luego con la parábola (movimiento parabólico) y ahora con la elipse (movimiento elíptico).

El maravilloso y esplendido campo de la ciencia, históricamente ha sido el resultado de la interrelación de tres elementos básicos o principales, representando el primero la realidad que nos rodea, es decir, el conjunto de los llamados hechos objetivos, este primer elemento los hemos observado mediante la experimentación el cual sería nuestro segundo elemento y como tercer componente la teoría la cual ha sido construida o desarrollada a través del más preciado de los dones de la humanidad, el pensamiento, con la cual tratamos de proporcionar una mirada racional o lógica de cada uno de los hechos presente en nuestro entorno.

En cuanto a la geometría podemos decir que la misma ha representado dentro de las matemáticas la que se encuentra más enraizada con la realidad en cuanto al entorno de la humanidad desde sus inicios, por lo tanto, debido a esta resaltante característica, la geometría inicialmente euclidiana representó el marco espacial en el que se desenvolvió la física, en la actualidad podríamos expresar que mediante la implementación de la maravillosa geometría analítica hemos podido profundizar el lazo de hermandad entre la ciencia física y las matemáticas, como lo representa el análisis del movimiento a través de diferentes lugares geométricos de importantes figuras (circunferencia, parábola, elipse, hipérbola) ofrecidas por esta rama de la ciencia.

La Elipse

Cualquier de nosotros hemos podido observar y conocer claramente algún tipo de imagen, objeto o movimiento relacionado a la figura geométrica de la elipse, por lo tanto, dicha figura representa el lugar geométrico originado por la movilidad de un punto del plano rectangular, en donde, encontramos a dos puntos fijos denominados focos, y cuyas suma de las distancias de un determinado punto a dichos focos es siempre equivalente a una constante, la cual será mayor a la longitud o distancia entre tales puntos fijos.

Es importante entonces poder conocer los elementos presentes en tal figura geométrica como se muestran en la siguiente figura 1.

Figura 1. Elementos que conforman una elipse.

Con la anterior figura 1, nos vamos relacionando con la descripción de la trayectoria del movimiento elíptico el cual nos permite relacionar a estas dos áreas de la ciencia (geometría analítica y cinemática) en el estudio de dicho movimiento.

De igual manera es necesario tener presente las ecuaciones principales que conforman dicho lugar geométrico, por lo tanto, tenemos:

La ecuación de una elipse cuyo centro es el origen del plano rectangular y su eje focal coincide con el eje X es:

En el caso en donde el eje focal de la elipse coincida con el eje Y y cuyo centro se encuentre en el origen, tendrá la siguiente ecuación:

Es importante resaltar la excentricidad de la elipse, la misma representa el grado de aplastamiento de dicha curva cerrada, representa uno de los más relevantes elementos a considerar durante su análisis debido a que esta característica es la que determina a esta figura, entonces, la podemos definir como la razón o el cociente c/a y se simboliza con la letra (e), por lo tanto, tenemos la siguiente expresión:

Una fundamental figura para el análisis o estudio del movimiento elíptico llevado a cabo como sabemos por la cinemática, a continuación les dejo el enlace de una de mis publicaciones para que puedan conocer más sobre esta espléndida figura geométrica como lo es la elipse.

Movimiento elíptico

Seguimos demostrando que el entendimiento sobre el fenómeno del movimiento sin dudas nos ha permitido poder ampliar cada una de nuestras capacidades de desarrollo en las distintas áreas relacionada con la humanidad, hasta ahora hemos realizado el análisis de dos importantes movimientos curvilíneos como lo son el circular y el parabólico, destacando el vital papel de cada uno de ellos en nuestras vidas, ahora le corresponde al movimiento elíptico mostrar sus cualidades e importancia entre nosotros.

De manera general podríamos expresar que un determinado cuerpo, móvil o partícula se desplaza siguiendo un movimiento elíptico, cuando en su trayectoria o recorrido describe el lugar geométrico de una elipse, en pocas palabras el de una circunferencia achatada en dos de sus extremos, como pudimos observar en la descripción de tal figura desde el punto de vista de la geometría analítica, destacando el importante elemento de excentricidad para el respectivo achatamiento antes descrito.

Lo resaltante de estos tipos de movimientos como el elíptico, es que lo encontramos en todo momento debido a que forman parte del universo en donde estamos todos inmersos, es decir, forman parte de nuestra cotidianidad a pesar de no poder observar algunos de ellos siempre estarán acompañándonos en nuestro día a día, como es el caso del movimiento o traslación orbital de los distintos cuerpos celestes, tales como los planetas, cometas, satélites naturales entre tantos otros objetos o cuerpos de tipos astronómicos los cuales se desplazan o movilizan a lo extenso de una respectiva órbita en cuya trayectoria describen el lugar geométrico de una elipse, es decir, un movimiento elíptico gracias a la gravedad de un cuerpo, objeto o estrella mayor que los atrae, como lo representa el caso particular del planeta tierra alrededor del Sol o el satélite natural luna en torno a dicho planeta Tierra.

De igual forma nos encontramos con movimientos elípticos que son posibles observarlos como es el caso de los movimientos originados por los aros de colores que conocemos con el nombre de hula hula, en donde lo hacían girar alrededor de la cintura trazando en su recorrido una elipse perfecta, o el giro de una bicicleta elíptica, el giro de una cuerda o soga encima de nuestras cabezas utilizadas para enlazar a los caballos o las reses(vacas) la misma sigue o traza una trayectoria elíptica, de esta manera podemos describir innumerables ejemplos de este tipo de movimiento elíptico presente en nuestras actividades diarias como en las desarrolladas en nuestra naturaleza.

Es importante tener presente que este tipo de movimiento se origina en la naturaleza a través de diversos sistemas físicos denominados campos de fuerzas centrales, representando dos claros ejemplos, el campo potencial armónico y el campo potencial gravitatorio newtoniano, en donde cada uno de ellos cuentan con su respectivas formulaciones teóricas y con formulaciones matemáticas específicas.

Conoceremos algunos modelos matemáticos específicos implementados durante el estudio de algún tipo de movimiento elíptico desarrollado dentro de un campo de fuerza central, en especial, el campo potencial gravitatorio newtoniano, representando un histórico ejemplo de este tipo de campo el movimiento de los planetas en nuestro sistema solar, este conocimiento nos ha permitido poder comprender el comportamiento de aquellos cuerpos naturales que giran alrededor de un determinado cuerpo celeste, es decir, los satélites como la luna para el planeta tierra, pero el hombre ha logrado ir más allá debido a que pudo fabricar o diseñar modelos artificiales de estos tipos de satélites orientados principalmente por el entendimiento del movimiento elíptico de los ejemplos antes mencionados, a través de las aplicaciones teóricas enmarcadas en los distintos modelos matemáticos estructurados para tal propósito, por lo tanto, nuestro análisis se centrará principalmente en los satélites artificiales sobre todo en aquellos cuya trayectoria sea elíptica.

Campos de fuerzas centrales

Este tipo de campo es aquel en donde sus fuerzas son conservativas, por lo tanto, la energía potencial de una determinada partícula, cuerpo u objeto dependerá tan sólo de su distancia a un punto inmóvil denominado centro o fuente de dicho campo, el campo gravitatorio del Sol desde una caracterización matemática a través de la visión de la mecánica newtoniana representa un claro ejemplo de estos tipos de campos centrales. Es importante poder tener en cuenta que la trayectoria o recorrido de una partícula, cuerpo u objeto que se moviliza bajo la acción de una determinada fuerza central se encontrará en el plano que contiene dicho centro de fuerzas.

Campo gravitatorio newtoniano

En la actualidad podemos decir que la extraordinaria ley de la gravitación universal fue diseñada magistralmente por uno de los más importantes personajes de nuestra historia científica como lo es Sir Isaac Newton en el año de 1687, y la misma la podemos desarrollar diciendo que dos puntos materiales se pueden atraer con una fuerza la cual estará dirigida u orientada de acuerdo a la línea que los conecta y cuya intensidad será directamente proporcional al producto de sus respectivas masas, pero inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, es decir, en pocas palabras mientras más cerca se atraerán con mayor fuerza y mientras más sea la longitud o distancia que los separe menor será su atracción, por lo tanto, esta maravillosa ley podríamos expresarla en términos matemáticos con la siguiente ecuación:

En donde, la referida constante G que se encuentra en la fórmula (1), representa un coeficiente de proporcionalidad y cuyo valor no lo estableció Newton, pero que posteriormente el físico y químico Henry Cavendish en 1798 pudo medir y cuantificar dicho valor mediante la utilización de una balanza de torsión, en nuestra actualidad el valor para tal constante de proporcionalidad se toma como:

Es de gran importancia expresar que la aceleración de la gravedad (g) representa una constante la cual dependerá de las respectivas masas involucradas, como por ejemplo, en la luna nuestro peso será distinto que en la corteza terrestre, en cuanto a la constante de proporcionalidad G representa una constante universal, por lo tanto, en palabras más precisas su respectivo valor será el mismo en cualquier punto de nuestro majestuoso universo.

Movimiento planetario, ejemplo histórico

Es imposible referirnos al movimiento elíptico sin mencionar el maravilloso movimiento planetario, cada uno de los planetas de nuestro sistema solar mantienen su órbita gracias a la fuerza centrípeta proporcionada por la atracción gravitatoria entre el astro central, el Sol, con cada uno de los referidos cuerpos celestes. Podríamos expresar que las órbitas planetarias son de tipo circular con algún grado de excentricidad (0<e<1) o achatamiento con lo que la trayectoria de dichos planetas describen el lugar geométrico de una elipse.

También podemos decir que los planetas orbitan alrededor del Sol, debido a que la masa del Sol es mucho mayor que la de todos los planetas, esto lo convierte en el centro de masa para cualquier partícula o cuerpo de nuestro sistema solar, por ejemplo, una determinada estrella y un planeta orbitan ambos alrededor de su centro de masa que en este caso es común para ellos, el Sol.

Entonces, la fuerza con que el Sol atrae a los planetas en particular a la tierra estará representada por la ecuación o fórmula (1) para la cual denominaremos m a la masa de la Tierra y M a la masa del Sol, por lo tanto, tendríamos lo siguiente:

Podemos resaltar de esta manera que esta fuerza es la responsable de la fuerza centrípeta que mantendrá en órbita elíptica a cualquier planeta del sistema solar, por ejemplo la Tierra, por lo cual podemos establecer la siguiente relación o igualdad:

De esta manera obtenemos la ecuación de la velocidad angular de un planeta que gira alrededor del Sol, esta velocidad dependerá sólo del radio de su órbita, esta fórmula nos permite calcular rápidamente la masa del Sol al saber a qué distancia se encuentra debido a que conocemos que la velocidad angular del planeta Tierra es 2π rad/año.

La geometría en la Cinemática de los satélites artificiales

La geometría a través de sus formas o figuras cónicas ha contribuido al estudio de las distintas órbitas desarrolladas en nuestro universo, en donde encontraremos órbitas según su grado de excentricidad de tipo circular (e=0), elípticas (0<e<1), parabólicas (e=1) e hiperbólicas (e>1).

Resumiendo, las trayectorias cónicas de las órbitas estarán acotadas por dos extremos, es decir, la trayectoria /órbita circular y la trayectoria hiperbólica en esta última los cuerpos escapan de la atracción gravitatoria del sistema solar, en el presente artículo resaltaremos la importancia de la elipse en la cinemática de los satélites artificiales.

En la actualidad podemos afirmar que esta importante figura geométrica toma una relevancia fundamental cuando el reconocido astrónomo Johannes Kepler estableció las tres leyes del movimiento planetario, las cuales una de ellas (1era ley) establece que los planetas siguen una trayectoria elíptica, en donde el Sol se encuentra en uno de sus focos, estas leyes las conocemos como leyes de Kepler, representan una adecuada descripción cinemática del movimiento planetario y en consecuencia del movimiento de los satélites artificiales que es nuestro ejemplo de análisis, además es grato resaltar que las mismas sirvieron como base fundamental al gran Sir Isaac Newton para poder describir la dinámica de los planetas en nuestro sistema solar, logrando de esta forma establecer la grandiosa e histórica ley de la Gravitación Universal, la cual ya expresamos con anterioridad.

En nuestro universo nos encontramos con diversos ejemplos de movimientos elípticos, por lo que es necesario resaltar que a nivel terrestre podemos encontrar gran variedad de órbitas según sea su clasificación, las cuales son implementadas para el lanzamiento de satélites artificiales, en donde podemos encontrar parámetros universalmente utilizados como altura, manejo, forma, entre otros para categorizar dichas órbitas.

Entonces, según sea la misión destinada para el satélite a lanzar esto determinará qué tipo de órbita recorrerá o trazará el mismo. Por tanto, de manera general podemos identificar cuatro tipos de misiones:

1.-Científicas.
2.-De aplicación.
3.-De comunicaciones.
4.-De navegación.

Por lo tanto, encontramos varias clasificaciones para tales órbitas terrestres pero como nuestro análisis va orientado hacia el movimiento elíptico nos enfocaremos en la clasificación según la excentricidad de dicha órbita, en donde los satélites podrán describir distintas trayectorias como la de un círculo, parábola, elipse e hipérbola, esto dependerá de la velocidad con que sean lanzados, si dicha velocidad es inferior a la de escape, dicho satélite se encontrará en órbita circular o elíptica que representa nuestro caso de estudio (elíptica), en definitiva la excentricidad de la órbita determinará el tipo de trayectoria a describir o recorrer por algún cuerpo u objeto, en este caso un satélite artificial.

Es importante tener en cuenta que una órbita representa una determinada trayectoria periódica la cual siguen los satélites tanto naturales como artificiales, este recorrido fundamentado como ya lo expresamos en las tres leyes de Kepler las cuales están respaldadas matemáticamente por la Ley de gravitación universal y desde el punto de vista dinámico por la extraordinaria segunda ley de movimiento de Newton.

Velocidad orbital

Para un satélite la velocidad orbital deber ser concreta o específica para que le permita estar en órbita y poder equilibrar el efecto gravitatorio. Como sabemos y hemos expresado reiteradamente que una determinada fuerza de gravedad ejercida por cualquier cuerpo celeste se reduce en proporción inversa al cuadrado de la distancia, por lo tanto, cuando un satélite este en lo más alto dicha fuerza de atracción gravitatoria será menor y en consecuencia su velocidad orbital también, la ecuación utilizada para determinar esta velocidad es la siguiente:

En la siguiente figura 2, se muestra la trayectoria elíptica de un satélite artificial señalando los elementos antes descritos.

Figura 2. Trayectoria de una órbita elíptica descrita sobre un mismo plano orbital

Velocidad de escape

Este tipo de velocidad es la necesaria para que un determinado cuerpo escape de la atracción del campo gravitacional de nuestro planeta Tierra, para calcular su valor utilizamos la siguiente ecuación:

Forma de la órbita

También es importante mencionar que los satélites lo podemos clasificar según la forma de su órbita, es decir, en relación a la excentricidad que la misma presenta, debido a que esta característica determinará qué tan alargada puede ser una órbita, en donde si es igual a 0 dicha órbita será circular; si su valor se encuentra entre 0 y 1 sabemos que será elíptica, pero lo resaltante es que dicha excentricidad la podemos determinar mediante la siguiente expresión:

Órbita elíptica

Por lo general, las órbitas de los satélites son de forma elípticas, en donde se tiene al centro de la Tierra como foco, y como observamos en la figura 2 presentando perigeo y apogeo, resaltando que los satélites artificiales que describen este tipo de órbita elíptica pueden presentar cualquier grado de inclinado en relación al plano ecuatorial. La velocidad en el apogeo será menor que en el perigeo, debido a la siguiente relación:

Satélites HEO

Estos tipos de satélites HEO (“Highly Elliptical Orbit” , Órbita altamente Elípticas) son el más claro ejemplo de estos tipos de satélites artificiales que describen la trayectoria de una órbita elíptica como claramente expresan sus siglas en inglés, los mismos tienen un apogeo mayor a los 36.000 km en relación a la superficie de la tierra lo que les permite proporcionarnos una mejor cobertura a gran altitud en aquellas áreas no alcanzadas por los satélites GEO (“Goestationary Earth orbit”, Órbita terrestre Geoestacionaria cuya órbita es circular) en cuanto al periodo orbital de estos satélites HEO varía entre 8 y 24 horas. Encontramos que el tipo de sistema HEO más usado para comunicaciones satélites es el conocido sistema ruso Molniya (representado por el gif al inicio de la presentación) el mismo se encuentra fabricado para suministrar cobertura a altas latitudes norte, para este tipo de órbita también se conoce otro tipo de sistema ruso denominado Tundra.

De esta manera hemos conocido algunas formulaciones matemáticas específicas implementadas en el estudio del movimiento elíptico en particular en la cinemática de los satélites artificiales, los cuales apoyados en los conocimientos ofrecidos por la geometría analítica a través de las figuras cónicas en especial la elipse han podido determinar con gran exactitud las distintas órbitas de sus trayectorias.

1.- La geometría analítica nos brinda extraordinarios conocimientos que hemos podido aplicar como humanidad en distintas áreas para nuestro propio bienestar, seguimos afirmando que esta rama de las matemáticas nos permite seguir soñando con el entendimiento de manera más sencilla y práctica de nuestro entorno, y diariamente lo comprobamos debido a que nuestro medio ambiente siempre estará colmado de las impresionantes figuras que la geometría ha hecho suyas en beneficio de todos nosotros, notablemente bajo su majestuosa interpretación analítica, y sin lugar a dudas podemos afirmar que la elipse representa una de estas infinitas formas obsequiadas por dicha ciencia geométrica con la finalidad de contribuir en la comprensión del majestuoso fenómeno del movimiento elíptico, en unión perfecta con la cinemática.

2.- La extraordinaria influencia de la geometría analítica siempre estará intrínseca entre nosotros, debido a que nos brinda un extraordinario lenguaje interpretativo de diversos fenómenos naturales que conviven con nosotros, gracias a ella hemos podido determinar excelentes modelos matemáticos específicos como los planteados en la cinemática tanto de los planetas de nuestro sistema solar como de los satélites artificiales.

3.- Si hablamos de cualquier tipo de movimiento, entonces, tenemos que acostumbrarnos al fabuloso nexo de la geometría analítica y la cinemática. La grandiosa tarea llevada a cabo por ambas ciencias sin dudas nos permitirá estar en sintonía con ese fabuloso fenómeno, en este caso logramos de manera general analizar el ejemplo histórico que representa una trayectoria elíptica mediante el movimiento de los planetas y de esta manera pudimos observar que gracias a estos conocimientos el hombre diseñó los impresionantes satélites artificiales que para nadie es un secreto que los mismos han representado para la humanidad un fundamental logro para la expansión tanto de nuestra intelectualidad como bienestar social.

4.- Durante el desarrollo de este artículo pudimos comprender y analizar algunas características generales e importantes de las órbitas elípticas, evidenciando también el nexo con otra maravillosa ciencia como lo es la astronomía, es decir, el grandioso carácter de interdisciplinariedad de nuestro campo científico, el cual todos los días nos brinda algún tipo de desarrollo en cualquier área o nivel en donde nos encontremos.

5.- Para concluir mis amigos y apreciados lectores, podríamos nuevamente resaltar el inmenso valor que representan estas ramas científicas en pro de todos nosotros, es decir, de toda la humanidad. La geometría analítica con la cinemática representa un claro ejemplo de enseñanza para todos ya que son muy complejas pero igualmente grandiosas, y como siempre fue un verdadero placer hacer coincidir de nuevo a estas dos formidables ciencias, es decir, las Matemáticas y la Física, nuevamente expresamos que sin ellas nada lograríamos y de ellas hemos aprendido a ser una especie ampliamente intelectual y de esta manera con gigantescos desarrollos sociales.

Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras dos grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point y el gif con la aplicación de PhotoScape, tanto como este gif y la figura 2 están apoyadas por una pequeña parte de otra imagen de dominio público extraída de Pixabay.com Fuente.

El gif al inicio de la presentación representa el sistema Molniya utilizados para Órbitas altamente Elípticas.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.

[2] Jennings, G.A. Geometría moderna con aplicaciones. Springer, New York, 1994.

[3] Snapper, E., Troyer, R.J. Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971.

[4] Gómez Ana Inés. Órbitas en el sistema solar, Volumen 3. Facultar de ciencias matemáticas, Universidad Complutense de Madrid.

[5] De Bernardini Enzo. Leyes de Kepler. Astronomía Sur. Http://astrosurf.com/astronosur, UNLP, 1998.

[6] Alegría Pedro. Las cónicas y sus aplicaciones.pedro.alegrí[email protected].

[7] O. Montebruck, E. Gill. Órbitas de satélite.

[8] Williams J. Astore, Robert B. Giffen, Wiley J. Larson, Comprensión del
Espacio, segunda edición, 2004.