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Continuando con la temática geometría analítica plana, en donde, seguimos robusteciendo el fundamental aspecto analítica de las matemáticas, en esta oportunidad continuamos analizando el extraordinario nexo existente entre la grandiosa ciencia física y las matemáticas, esta última desde la visión de la geometría analítica, por lo tanto, conoceremos algunos de muchos elementos fundamentales que comparten ambas ramas de la ciencia, como lo pudimos demostrar en la primera parte de este fundamental nexo mediante el movimiento circular.

Es necesario tener en cuenta que en el campo de la física se analiza o estudia este tipo de movimiento parabólico primero que el movimiento circular, sin embargo, desde el punto de vista de la geometría analítica iniciamos analizando las curvas bases más sencillas hasta llegar a las más complejas, por lo que iniciamos con el análisis de la línea recta, luego la circunferencia después la parábola para continuar con la elipse y se concluye con la hipérbola, con ellas se construyen la numerosa familia de dichas curvas, es por eso que iniciamos con el análisis del movimiento circular por ser la circunferencia analizada geométricamente antes que la parábola.

Comenzaremos con la profundización de los importantes aspectos ofrecidos por la geometría analítica dentro de las matemáticas, representando uno de ellos el estudio del lugar geométrico que corresponde a la parábola, dicha figura geométrica nos permitirá el análisis del importante movimiento parabólico, el cual como ya hemos expresado todo lo relacionado al impresionante fenómeno del movimiento lo lleva a cabo la ciencia Física por medio cinemática.

El propósito de este estudio o análisis es seguir resaltando el extraordinario y necesario vínculo entre dos de las más grandes ciencias de la humanidad como lo son la física y las matemáticas.La física se ha nutrido indudablemente de sus propias raíces, representando una de ella la cinemática, esta última nos ha proporcionado los principios fundamentales del tan conocido y nombrado fenómeno del movimiento y como ya pudimos expresar en la pasada publicación independientemente del tipo de fuerza que lo ocasione.

Para nosotros poder comprender el fenómeno del movimiento en especial el parabólico, necesario es el análisis de la descripción de su trayectoria y la misma se encuentra representada por el lugar geométrico de una parábola, es aquí en donde debemos referirnos a la esencial ciencia de las formas y las figuras, es decir, la geometría analítica, esa sorprendente rama de las matemáticas que nos ha permitido dotar a la física de cada uno de los distintos lugares geométricos implementados para el entendimiento del fenómeno antes descrito, ya que pudimos comprobar esto con la circunferencia (movimiento circular) y ahora con la parábola (movimiento parabólico).

Con la determinación de cada una de las ecuaciones que han permitido dibujar o graficar los distintos lugares geométricos de las innumerables figuras presente en nuestro entorno la geometría en especial la analítica ha fortalecido a todo el campo científico en especial a la física, permitiéndole a dicho campo cumplir con las grandes expectativas que en sus inicios dicha ciencia física se propuso.

La Parábola

Cualquier persona de nuestro planeta ha podido observar y conocer algún tipo de imagen, objeto o movimiento relacionado a la figura geométrica de la parábola, por lo tanto, la misma representa el lugar geométrico, en donde, un punto del plano rectangular tiene movilidad de tal manera que su distancia a una recta inmóvil denominada directriz, será siempre igual a la longitud a un punto fijo (foco de la parábola) de dicho plano coordenado, teniendo en cuenta que este último punto no pertenece a dicha directriz.

Es importante entonces poder conocer los elementos presentes en tal figura geométrica como se muestran en la siguiente figura 1.

Figura 1. Elementos que conforman una parábola.

Con la anterior figura 1, nos vamos relacionando con la descripción de la trayectoria del movimiento parabólico el cual nos permitirá unir a estas dos vitales áreas de la ciencia (geometría analítica y cinemática) para el estudio de dicho movimiento.

De igual forma es importante tener en cuenta las ecuaciones que originan dicho lugar geométrico, por lo tanto, tenemos:

Cuando el eje de una determinada parábola coincide con el eje coordenado Y, y cuyo vértice se encuentra en el origen dicha figura geométrica tendrá la siguiente ecuación:

En el caso en donde el eje de la parábola coincida con el eje X y cuyo vértice se encuentre en el origen, tendrá la siguiente ecuación:

Una fundamental figura para el análisis del movimiento parabólico llevado a cabo por la cinemática, a continuación les dejo el enlace de una de mis publicaciones para que puedan conocer más sobre esta maravillosa figura geométrica como lo es la parábola.

Movimiento parabólico

Ya hemos expresado y comprobado que el entendimiento del movimiento nos ha permitido ir ampliando nuestra capacidad de desarrollo desde cualquier tipo de ámbito de nuestras vidas, y el movimiento parabólico juega un importante papel en la tarea antes descrita.

El movimiento parabólico en forma general podemos decir que representa el movimiento de una determinada partícula o cuerpo rígido el cual describe en su trayectoria o recorrido el lugar geométrico de una parábola, dicho fenómeno es posible estudiarlo desde una visión de unión entre dos tipos de movimiento, esto es debido a que si observamos la proyección de dicha trayectoria parabólica en el eje X el cual se encuentra paralelo al suelo podemos notar que el mismo describe un movimiento rectilíneo uniforme, pero al elevarse y caer dicha partícula o cuerpo describirá una trayectoria proyectada en el eje Y describiendo de esta forma un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y cuya aceleración es la gravedad, como podemos observar en la figura 2.

Figura 2. Proyección en cada eje coordenado de los dos tipos de movimientos antes descritos.

Uno de tantos ejemplos que nos permitiría una imagen visual de estos dos componentes de dicho movimiento parabólico, los podríamos representar mediante la acción que realiza un portero de fútbol al patear el balón desde su arquería o portería, si nosotros tendríamos la oportunidad de seguir tal recorrido del balón verticalmente desde arriba en el mismo plano vertical de la descripción de su trayectoria, notaríamos que el mismo se desplazaría a una velocidad constante desde el momento que dicho balón sale golpeada por el pie del jugador hasta que la misma haga contacto con el césped, por lo tanto, de esta manera observaríamos un movimiento rectilíneo uniforme, es decir, con velocidad constante.

Ahora si nos situamos en el terreno o césped a varios metros detrás de la portería opuesta ubicados igualmente en el plano vertical de dicha trayectoria del balón, es decir, de frente al lanzamiento y el portero pateara hacia nosotros, tendríamos la impresión de que el balón subiría y bajaría como si dicho lanzamiento fuese vertical hacia arriba, es decir, un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

Este tipo de movimiento parabólico tiene su mayor aplicación en la ciencia que estudia la trayectoria o recorrido de las balas o proyectiles, es decir, la balística, en donde ciertos proyectiles son lanzados desde un determinado cañón con la utilización de un ángulo específico con la clara finalidad que el mismo pueda recorrer la trayectoria del lugar geométrico de una parábola y de esta manera pueda impactar en el objetivo planificado.

Desde la visión teórica del estudio de un movimiento parabólico no tomamos en cuenta factores tales como, el rozamiento originado por la partícula, cuerpo o proyectil con la atmósfera, presión atmosférica, el viento, entre otros factores que pudieran estar presentes durante la ejecución de tal movimiento, en la práctica desde el punto de vista de la balística debe corregir sus cálculos en función a tales factores para lograr sus objetivos.

Es importante destacar que podemos encontrar varios tipos de movimientos parabólicos ya que el mismo dependerá de donde inicia o termina el movimiento del cuerpo a estudiar, por lo tanto tenemos:

Movimiento parabólico completo

En este tipo de movimiento claramente podemos expresar que el cuerpo recorrerá una parábola completa, es decir, comenzando y finalizando en el suelo, como podemos observar en la figura 3.

Figura 3. Descripción de un movimiento parabólico completo.

Movimiento de media parábola

En este tipo de movimiento un determinado cuerpo inicia su movilidad partiendo del punto más alto de dicha trayectoria parabólica completa, el cual es lanzado con una fuerza horizontal como observamos en la siguiente figura 4.

Figura 4. Descripción de un movimiento de media parábola.

Otros movimientos parabólicos

Este tipo de movimiento tiene muchos casos particulares, debido a que no describe una parábola completa pero tampoco media parábola ya que puede partir de cierta altura no estándar, un práctico ejemplo, es cuando observamos a un jugador de básquetbol tratar de introducir el balón en la cesta, dicho balón parte de una altura x, debido a que no todos los jugadores tienen la misma estatura pero el balón describirá una parte de la parábola trayectoria, como podemos observar en la figura 5.

Figura 5. Gif animado con la descripción de un ejemplo de otros tipos de movimiento parabólicos.

Para la determinación de estos modelos matemáticos tomaremos en cuenta el movimiento de un determinado cuerpo (por ejemplo, un proyectil, balón) que es disparado o lanzado desde el suelo con un cierto ángulo y utilizando un par de coordenadas (X, Y) del plano rectangular cartesiano de cuyo origen partirá el lanzamiento de dicho cuerpo u objeto.

Podemos iniciar diciendo que en un movimiento parabólico la velocidad inicial (V0) de un determinado cuerpo tendrá dos componentes, una correspondiente al eje X, es decir, horizontal y otra correspondiente al eje de las Y, denominada componente vertical como observaremos rápidamente en la siguiente figura 6.

Figura 6. Descripción de las componentes de la velocidad iniciar.

De esta manera podemos considerar que el movimiento parabólico está compuesto por dos movimientos, uno horizontal uniforme cuya velocidad está representada por V0x y otro vertical en donde el cuerpo con una velocidad inicial representada por V0y sube verticalmente llegando a una altura máxima para después caer en caída libre, por lo tanto, podemos expresar que este último movimiento (vertical) será igual al de ascenso y descenso de cualquier objeto lanzado verticalmente hacia arriba, como por ejemplo una piedra, y el mismo determinará el tiempo que tardará cualquier objeto o cuerpo (por ejemplo piedra) en caer, por lo tanto, podríamos asegurar que la trayectoria de un determinado cuerpo sería una curva simétrica claramente con respecto a nuestro eje vertical, en donde alcanza su punto de altura máxima como podemos observar en la siguiente figura 7.

Figura 7. Ubicación del punto de altura máxima.

Altura máxima (Ymax)

Como pudimos expresar anteriormente la misma representa el punto de mayor altura del recorrido de un movimiento parabólico, por lo tanto, podemos empezar a estructurar nuestra primera ecuación para la determinación de dicha altura máxima, entonces tenemos:

Es importante recordar que debido a que es un movimiento uniforme la componente horizontal de la velocidad X (V(x ))será constante, pero en cuanto a la componente vertical de dicha velocidad se reduce inicialmente debido a la acción de la gravedad, la cual logra hacerla nula en el punto más alto de la parábola trayectoria, en donde, desde ese momento dicha velocidad vuelve aumentar uniformemente acelerada por el mismo efecto gravitacional, debido a la simetría de la curva trayectoria (parábola completa) nos permite solo realizar el estudio del movimiento de ascenso del cuerpo lanzado ya que este análisis será el mismo para el movimiento de descenso por lo que se hace innecesario su estudio, por lo tanto, podemos ir conformando ecuaciones elementales que nos permitan determinar la fórmula de la velocidad, así como de otras más, para ello tenemos:

Ahora conocidas las ecuaciones anteriores podemos ir conformando otras ecuaciones como para el movimiento tanto horizontal como para el vertical.

Movimiento horizontal

Recordando siempre que para el movimiento horizontal, su componente Vx será constante, debido a que no se verá afectado por la acción de la gravedad, por lo tanto, su ecuación es:

Movimiento vertical

En el caso del movimiento vertical recordemos también que su componente vertical de la velocidad (V(y )) va decreciendo mientras dicho cuerpo sube anulándose como ya expresamos en su punto más alto (altura máxima), en donde cambia su dirección y aumenta (velocidad) progresivamente al caer el cuerpo, dicho lo siguiente tenemos la siguiente ecuación para el desplazamiento vertical:

Velocidad

Seguimos determinando modelos matemáticos utilizados para el estudio del movimiento parabólico, por lo tanto, mediante la implementación de las ecuaciones 3 y 4 podríamos conocer en cada instante el módulo de la velocidad del cuerpo en dicho movimiento, entonces tenemos lo siguiente:

Para configurar la ecuación que determina el ángulo que dicha velocidad forma con nuestro eje horizontal tenemos:

Trayectoria parabólica

Encontrada la ecuación para el cálculo del ángulo antes descrito seguimos ahora con la configuración de la ecuación de la trayectoria, la cual como ya reiteradamente hemos expresado corresponde al lugar geométrico de una parábola, de esta forma utilizando las ecuaciones 5 y 6, en donde despejaremos el parámetro tiempo (t) de (5) para luego sustituir dicha expresión en (6) para obtener lo siguiente:

De esta forma obtenemos la expresión matemática más representativa en tal nexo, debido a que dicha ecuación contiene elementos o unidades cinemáticas (velocidad, gravedad) como geométricas (ángulos, coordenadas cartesianas rectangulares) y es la representación algebraica de la trayectoria de un determinado movimiento parabólico.

Tiempo de vuelo

Ahora determinaremos la ecuación para el tiempo requerido por un cuerpo u objeto al caer en un movimiento parabólico, es decir, el denominado tiempo de vuelo, el cual está representado por la duración del movimiento vertical tanto de ascenso como el de descenso, en pocas palabras el doble de lo que duraría por ejemplo el movimiento de ascenso, en donde se involucra como sabemos la acción de la gravedad, análogamente como pudiéramos analizar un movimiento vertical de una piedra dejada caer desde arriba (caída libre), luego el espacio que recorrerá dicho cuerpo hasta impactar con el suelo estaría representado por la siguiente expresión h = ½ g.t^2 , despejando (t) de la anterior ecuación obtendríamos la fórmula del tiempo que tardaría en caer dicha piedra al suelo, por lo tanto, t = √2h/g, entonces, si esta piedra ahora la lanzáramos desde el suelo verticalmente hacia arriba el tiempo empleado en caer sería el doble ya que estaríamos hablando del tiempo de ascenso donde alcanzaría un punto de altura máxima (Ymax) para luego iniciar su descenso, es decir, tiempo de vuelo (tv) como expresamos inicialmente, con este análisis podemos decir que nuestra expresión buscada es la siguiente:

Distancia recorrida del lanzamiento

Una vez determinada nuestra ecuación para el tiempo de vuelo (tv), lo sustituimos en la ecuación para el movimiento horizontal (5), para poder establecer la fórmula de la distancia que alcanza cualquier cuerpo u objeto al ser lanzado o disparado con un movimiento parabólico, para lo cual tenemos:

De esta forma establecimos las ecuaciones matemáticas fundamentales para poder analizar cualquier tipo de movimiento parabólico, comprobando de esta forma el esencial y necesario nexo entre la geometría analítica y la cinemática, es decir, entre las matemáticas y la física.

1.- Seguimos comprobando que la geometría analítica ha representado extraordinariamente a las maravillosas matemáticas, nos permite seguir soñando con el entendimiento de manera más sencilla y práctica de nuestro entorno, ya que nuestro medio natural siempre estará colmado de las esenciales figuras que la geometría ha hecho suyas y en consecuencia nuestras bajo su majestuosa interpretación analítica, y sin lugar a dudas la parábola ha representado una de estas infinitas formas brindadas por dicha ciencia geométrica para la comprensión del majestuoso fenómeno del movimiento parabólico.

2.- La influencia de la geometría analítica estará por siempre intrínseca en todo el campo de la ciencia, por su extraordinario lenguaje interpretativo permitiéndonos cada vez mejores determinaciones de modelos matemáticos con profundas raíces geométricas en pro del estudio de cualquier tipo de fenómeno como el que acabamos de analizar y comprender de una manera generalizada.

3.- La grandiosa tarea llevada a cabo por la cinemática sin dudas nos permitirá estar en sintonía con ese fabuloso y vital fenómeno del movimiento en general, así como podemos observar a nuestro alrededor cualquier figura geométrica de esa forma también observamos numerosas actividades tantos naturales como aquellas llevadas a cabo por la humanidad y las cuales guardan estrecha relación con tal fenómeno, es por ello que ambas resultan ser una perfecta y fructífera combinación para nuestro bienestar, muchos relacionan este tipo de movimiento parabólico solo desde el punto de vista de la balística, sin embargo, pudimos notar en los ejemplos presentados en esta publicación que su aplicación es muy extensa formando parte esencial de nuestra cotidianidad.

4.- Durante el desarrollo de este artículo pudimos comprender y analizar la determinación de algunos importantes modelos o ecuaciones matemáticas específicas para el estudio del movimiento parabólico, haciendo énfasis en la ecuación de la trayectoria parabólica ya que pudimos observar la expresión matemática más representativa en tal nexo, ya que como dijimos dicha ecuación contiene elementos o unidades cinemáticas (velocidad, gravedad) como geométricas (ángulos, coordenadas cartesianas rectangulares) y de esta manera otras fabulosas expresiones matemáticas que nos permiten darle sentido y orientación al conocimiento del movimiento parabólico en nuestras vidas.

5.- Para concluir mis amigos y apreciados lectores, podríamos resaltar infinitamente el inmenso valor que representan estas ramas científicas en pro de todos nosotros, es decir, de toda la humanidad así como de cualquier especie viviente de este planeta, somos parte de su historia debido a que tratamos de aprender de ellas, por lo tanto, seremos testigos fidedignos de sus futuras grandes enseñanzas ya que su labor nunca descansará , fue un placer poder hacer coincidir nuevamente a estas dos grandes ciencias de la nuestra historia, como lo son las Matemáticas y Física, y expresamos nuevamente sin ellas nada sería posible y con ellas hemos aprendido a ser una especie ampliamente intelectual y de esta forma con gigantescos desarrollos sociales.

Hasta otra oportunidad mis apreciados lectores de steemit, en especial a los miembros de la gran comunidad de #STEM-Espanol, los cuales reciben el apoyo de otras dos grandes comunidades como los son #steemstem, #utopian-io y #curie, por lo cual recomiendo ampliamente formar parte de este hermoso proyecto, ya que resalta la valiosa labor de la academia y del campo científico, pero sobre todo, por el gran respecto, dedicación y ayuda para sus miembros.

Nota: Todas las imágenes fueron elaboradas usando las aplicaciones Paint, Power Point, GeoGebra y el gif con la aplicación de PhotoScape, la imagen al inicio de la presentación está apoyada por una pequeña parte de otra imagen de dominio público extraída de Pixabay.com Fuente.

[1] Charles H. Lehmann. Geometría Analítica. Décima tercera reimpresión. Editorial Limusa. México, D.F. 1989.

[2] Jennings, G.A. Geometría moderna con aplicaciones. Springer, New York, 1994.

[3] Snapper, E., Troyer, R.J. Geometría afín métrica. Dover, New York, 1971.

[4] Bragado Ignacio Martin. Física General. [email protected] .12 de febrero de 2003.

[5] Prieto Santiago, Rodríguez, Silveira Ismael. Física General 1. Universidad de la República; Instituto de física, Facultad de ingeniería - UdelaR, 2007.

[6] Física para Ciencias e Ingeniería. Raymond A. Serway, Robert J. Beichner. 5a edición. Tomo I. McGraw-Hill.

[7] Arroyave Valencia, Carlos. Movimiento Parabólico. Instituto Técnico Industrial Pascual Bravo.