Modelos matemáticos aplicados a la Mécanica Aplicada | Perturbaciones

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. Cuando hablamos de Matemáticas la primera reacción es de temor, terror, desagrado para las personas que no les interesa el tema, más sin embargo, las Matemáticas es parte fundamental para muchas ciencias y sobre todo de la ingeniería. Estudiar las Matemáticas, requiere hacer uso del razonamiento lógico, para lograr en la práctica el desarrollo del razonamiento riguroso con objetos y estructuras puramente abstractos. Así, en esta oportunidad hablaremos un poco de los Modelos matemáticos aplicados a la Mecánica Aplicada. La Mecánica Aplicada es la matemática aplicada a aquellas áreas problemáticas de la ciencia que surgen de las consideraciones de problemas continuos. Por lo tanto, a manera práctica, se fija una visión macroscópica del problema en cuestión, en vez de una visión atómica o cuántica del fenómeno y se presta atención a aquellas áreas en las que las observaciones o experimentos son reproducibles, y los datos medidos están disponibles de alguna manera. Uno de los objetivos fundamentales es el de demostrar la capacidad de formular problemas en Mecánica Aplicada. Un método de perturbación, es un método aproximado para resolver problemas que no pueden ser resueltos con exactitud. Un estudio cuidadoso de estos problemas también ayudará a desarrollar una buena comprensión de los problemas en la mecánica cuántica.

Esta publicación esta dirigida a estudiantes, profesionales e investigadores en específico en el área de las Matemáticas Aplicadas e Ingeniería, y público interesado en estos temas interesantes para el entendimiento de buena parte del medio que nos rodea día a día. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir dentro del tema. Sin perder más tiempo, comencemos.

La simplificación del modelo obtenida al omitir un término multiplicado por un pequeño parámetro adimensional puede considerarse como el primer paso en un procedimiento sistemático para obtener una expansión asintótica de la solución completa en términos de un pequeño parámetro. Así, la solución para la presión (y también y ) en el ejemplo depresentamos en la publicación (Modelos matemáticos aplicados a la Mécanica Aplicada - Introducción) con 1/Fr = 0 = Br, tiene la forma funcional = (, , Re), y si posee una expansión asintótica en potencias de Re, entonces para valores suficientemente pequeños de Re. La solución al modelo simplificado en el que Re = 0 es entonces , y se pueden obtener sucesivamente términos de orden superior. Este es un procedimiento de perturbación regular y puede ser usado si (, , Re) (y también y ) son funciones regulares de Re cerca de Re = 0. Sin embargo, esto casi siempre no se sabe de antemano y el enfoque adoptado es intentar realizar una expansión regular y esperar que si no es válida habrá una clara inconsistencia en los primeros términos de la expansión. Esta inconsistencia puede surgir en la forma del problema para esté mal planteado, como sucedió antes de que fuera reescalado cuando no existia una solución para . Alternativamente, las soluciones obtenidas pueden no estar limitadas en alguna región de las variables de espacio y tiempo y .

En tal situación la expansión es singular, y se debe adoptar un procedimiento de perturbación singular. Un ejemplo es el problema visto en la publicación anterior (Modelos matemáticos aplicados a la Mécanica Aplicada - Introducción) cuando Re >> 1 de modo que una expansión regular sea potencia de 1/Re. Cuando 1/Re se toma igual a cero, el orden de la ecuación se reduce porque el término con derivada más alta desaparece y no todas las condiciones de contorno pueden ser satisfechas. Una declaración alternativa es que, adyacente a la abundancia en la que q es dada, algunos derivadas de q serán no acotadas y se crea una capa límite en la que las derivadas de q son grandes y el término omitido debe ser conservado.

Una técnica para analizar las propiedades de una muestra química dada es calentarla continuamente en un horno a una temperatura a la que se produce una reacción, y comparar el perfil de temperatura de la muestra con la del horno. Debido a la escala del horno, la conducción de calor en la muestra será importante y se supone que la conductividad térmica k y la difusividad κ² son constantes conocidas.

El problema es determinar las constantes que describen la reacción, es decir, el calor de la reacción λ, la energía de activación E y la constante de velocidad A^∗, a partir de estas observaciones. Para simplificar, consideramos sólo una única reacción de primer orden con una constante de velocidad, de modo que si α(t) es la fracción de masa del material activo, entonces de la Ley de Arrhenius

donde R es una constante conocida y T es la temperatura absoluta. También, por simplicidad, consideramos un modelo unidimensional, es decir, la muestra es un bloque infinito de ancho 2L, calentado por ambos lados sin transferencia de calor paralela a sus lados. Entonces α es una función de x y t y la derivada con respecto al tiempo en la ecuación (1) es la derivada parcial


La reacción química, cuando ocurre, crea calor en la muestra de manera que un balance de energía o calor, da como resultado


Las condiciones de frontera son tal que no se haya producido ninguna reacción en t = 0 de modo que α = 1, y α es mayor o igual a cero, para todos los valores de t. También T = T₀ cuando t = 0, y si suponemos una situación simétrica


Para el calentamiento debido al horno en x = L, un modelo simple es suponer que se conoce un coeficiente de transferencia de calor h^∗ desde el horno a la muestra de modo que


donde T_F es la temperatura prescrita del horno. De nuevo, para simplificar, consideramos un problema en el que el horno se calienta a una velocidad uniforme de β, de modo que T_F(t) = T₀ + βt donde β es conocido y puede ser variado.

Un perfil de temperatura típico que se observa en la práctica lo podemos ve en la figura siguiente

_{Perfil de Temperatura típico. Elaborado por @abdulmath en Inkscape.}
la primera tarea es determinar para qué rango de valores de las constantes podría predecirse dicho perfil mediante el modelo matemático. Para ello, primero normalizamos el problema, escalando las variables x con L, t con el tiempo de conducción L²/κ², y T - T₀ con λ/c. Las ecuaciones (2) y (1) se expresan ahora utilizando variables escaladas:


donde

Las condiciones de contorno son

donde

Hay cinco parámetros no dimensionales, tres de los cuales son constantes desconocidas, h dada, y ω que no se conoce pero que puede ser variable. Si todos ellos son de orden uno, el problema es claramente difícil y se puede avanzar muy poco en su análisis. Por lo tanto, consideramos las implicaciones de una situación en la que el ω << 1, es decir, el horno sólo se calienta lentamente en comparación con el tiempo de conducción. Para que el término de calentamiento del horno aparezca en las ecuaciones en el límite ω tiende a cero, el tiempo tiene que ser reescalado, así que finalmente escribimos τ = ωt para obtener un problema de valor en la frontera

donde

Ahora buscamos una expansión regular de T y de α en potencias de ω, y para mantener una relación no trivial para α requerimos que A sea de orden uno, y por lo tanto A es pequeño. Una simple integración da como resultado

y por lo tanto


donde


Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (4) y omitiendo O(ω²) obtenemos:


con condiciones de frontera

Desde una mayor integración

Esto da una expansión consistente para T si las constantes implicadas son todas de orden uno, excepto cerca de τ = 0 donde la condición de contorno T = 0 no se ha cumplido. Sin embargo, se satisfe α = 1 y podríamos reescalar para valores de τ pequeños con α = 1 para compensar esta deficiencia; sin embargo, no es de gran interés ya que en tales momentos la reacción apenas ha comenzado. La cuestión de interés es si la ecuación dada en (7) nos da una curva para T en x = 0 de la forma general mostrada en la figura mostarada anteriormente; es decir, si se pueden elegir las constantes A, ε y δ para que los resultados observados se ajusten por

Esta es una expresión bastante formidable que puede simplificarse, y aún así tener un perfil adecuado, en el caso de energía de activación pequeña y calor de reacción, es decir, ε y δ ambos de valores pequeños.

En general, sin embargo, se pueden construir perfiles para T_{x = 0} - τ que tienen un valor máximo ωT_m en τ = τ_m. Estos valores se miden fácilmente a partir de la evidencia experimental, y proporcionan dos relaciones que conectan las incógnitas A, ε y δ.

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de una nueva publicación donde las matemáticas tienen sus aplicaciones en otros campos de la ciencia los cuales son de mucho interés en general. Espero que la misma haya sido de su agrado, y pueda servir de una ventana de apoyo para visualizar las estrechas relaciones que existen en particular entre las ciencias, así como se puede contextualizar las mismas teorías en la ingeniería, gracias por tomar un poco de su tiempo y poder disfrutar un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y las ciencias básicas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:

1. Bender, C. M. and Orszag, S. A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, New York. 1978.
2. Courant, R. and Hilbert, D. Methods of mathematical physics, vol. I. Interscience, New York. 1976.
3. Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Fluid mechanics. Pergamon, London. 1963.
4. Stakgold, I. Green's functions and boundary value problems. Wiley-Interscience, New York. 1979.

La imagen de fondo de la portada es una imagen de libre uso tomada de y editada con GIMP por @abdulmath. Las imágenes son todas de libre uso, tomadas de y editadas y tratadas con GIMP. Los títulos, imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, LaTeX2e, Inkscape y GIMP.

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