Modelos matemáticos aplicados a la Mécanica Aplicada | Introducción

in steemstem •  5 months ago 


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Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. Cuando hablamos de Matemáticas la primera reacción es de temor, terror, desagrado para las personas que no les interesa el tema, más sin emabrgo, las Matemáticas es parte fundamental para muchas ciencias y sobre todo de la ingeniería. Estudiar las Matemáticas, requiere hacer uso del razonamiento lógico, para lograr en la práctica el desarrollo del razonamiento riguroso con objetos y estructuras puramente abstractos. Así, en esta oportunidad hablaremos un poco de los Modelos matemáticos aplicados a la Mécanica Aplicada. La Mecánica Aplicada es la matemática aplicada a aquellas áreas problemáticas de la ciencia que surgen de las consideraciones de problemas continuos. Por lo tanto, a manera práctica, se fija una visión macroscópica del problema en cuentión, en vez de una visión atómica o cuántica del fenómeno y se presta atención a aquellas áreas en las que las observaciones o experimentos son reproducibles, y los datos medidos están disponibles de alguna manera. Uno de los objetivos fundamentales es el de demostrar la capacidad de formular problemas en Mecánica Aplicada. En realidad, es el de demostrar el poder de las matemáticas y la diversidad de sus aplicaciones, con la intención de estimular la construcción de modelos de nuevas situaciones.


Esta publicación esta dirigida a estudiantes, profesionales e investigadores en específico en el área de las Matemáticas Aplicadas e Ingeniería, y público interesado en estos temas interesantes para el entendimiento de buena parte del medio que nos rodea día a día. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir dentro del tema. Sin perder más tiempo, comencemos.


Ingeniería


Título

La Mecánica Aplicada es la matemática aplicada a aquellas áreas problemáticas de la ciencia que surgen de las consideraciones de problemas continuos. Por lo tanto, a manera práctica, se fija una visión macroscópica del problema en cuentión, en vez de una visión atómica o cuántica del fenómeno y se presta atención a aquellas áreas en las que las observaciones o experimentos son reproducibles, y los datos medidos están disponibles de alguna manera. Uno de los objetivos fundamentales es el de demostrar la capacidad de formular problemas en Mecánica Aplicada. En realidad, es el de demostrar el poder de las matemáticas y la diversidad de sus aplicaciones, con la intención de estimular la construcción de modelos de nuevas situaciones.


El fin es construir una simulación matemática, o modelo, de un fenómeno científico dado, que concuerde con las mediciones existentes con una precisión especificada y que pueda utilizarse con confianza para predecir observaciones y comportamientos futuros. Partiendo de este punto de vista continuo, los modelos matemáticos implicarán naturalmente relaciones entre las funciones continuas del espacio y el tiempo que describen la aplicación de los principios científicos fundamentales de homogeneidad, isotropía y conservación a un problema dado.


El ejemplo más simple y quizás el más estudiado es el de la 2da Ley de Movimiento de Newton para una partícula, el cual tiene una expresión matematica dada por:


Ecuación

el cual conduce al modelo para una partícula que cae libremente por la gravedad,

Ecuación

y predice que

Ecuación


Por lo tanto, para lograr el éxito de la Mecánica Aplicada se necesitan dos habilidades opuestas pero complementarias, a saber, la capacidad de formular un problema dado en términos matemáticos apropiados y conocimientos suficientes para obtener información útil de ese modelo matemático.


La habilidad en la formulación radica en encontrar un modelo que sea lo suficientemente simple como para dar información útil fácilmente, pero que sea a la vez lo suficientemente diverso como para dar toda la información requerida con la suficiente precisión.


Un modelo puede ser apropiado en una serie de circunstancias, pero no tiene valor en otras porque es demasiado complicado o demasiado simple. Una vez que un modelo está bien establecido, rara vez se presenta en un libro de texto de tal manera que el lector pueda apreciar tanto las repetidas modificaciones hechas a modelos anteriores menos
satisfactorias, como la interacción entre estos modelos anteriores, su análisis y la comparación de la predicción con el experimento. El uso de la analogía entre modelos bien establecidos y nuevos problemas es claramente una ayuda muy valiosa


Matemática


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Si tenemos un problema macroscópico, el mismo tendrá en general una serie de características físicas cuantitativas, que varían en el espacio y el tiempo, a las que pueden asignarse símbolos matemáticos. Desde el punto de vista físico, un nivel macroscópico, es aquel donde la descripción de la posición o estado físico concreto de las partículas que integran el cuerpo a describir, puede ser expresado como una ecuación de estado que solo incluye magnitudes extensivas e intensivas.


Entonces las características pueden ser representadas por cantidades escalares, vectoriales o tensoriales y serán funciones de variables espaciales y temporales que son continuas y diferenciables excepto en superficies especiales. Estas cantidades estarán relacionadas por las leyes físicas fundamentales y dicha relación introducirá un número de constantes físicas medibles.


Cualquier fenómeno observado dependerá de las características físicas y constantes, pero en una situación dada puede no estar claro cuáles son las importantes. Por lo tanto, al intentar construir un modelo, hay que juzgar qué características incluir y cuáles no incluir. Si se omite una característica importante, 0entonces el modelo no describirá el fenómeno observado con la suficiente precisión o el modelo puede no ser autoconsistente. En algunos casos, si se incluyen características innecesarias, el modelo será más difícil de resolver debido a su mayor complejidad. Por lo tanto, es recomendable plantear un modelo con un enfoque simple con un mínimo de características incluidas en el primer intento, y características adicionales añadidas, si es necesario, una por una.


Así debería ser posible estimar el efecto de las características adicionales sobre los resultados del modelo original. Esto se hace normalizando el problema, es decir, definiéndolo en términos de variables no dimensionales cuya escala típica es de orden uno, y la magnitud relativa de los diferentes efectos físicos se mide mediante parámetros no dimensionales o grupos sin dimensión.


Un buen ejemplo es el de la mecánica de fluidos, donde las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo de un fluido viscoso incompresible proporcionan un modelo bien establecido. Las cantidades desconocidas son la velocidad q, la presión p y la temperatura T como funciones de las variables espaciales x y el tiempo t, donde los vectores tienen tres componentes. La aplicación de las leyes físicas de conservación de masa, el impulso y la energía, conduce al siguiente modelo:


Ecuación

donde las constantes implicadas en las ecuaciones anteriores son: la densidad ρ, el coeficiente de viscosidad p, el calor específico c, la conductividad k, y si la fuerza del cuerpo F la cual se debe a la gravedad, y la aceleración gravitacional g.


En la ecuación dada en (2) los efectos físicos modelados son la inercia, las fuerzas viscosas y la gravedad; en la ecuación dada en (3) son la convección de calor (a veces llamada advección), la conducción de calor y la disipación viscosa.


En este modelo las variaciones en la densidad y el coeficiente de viscosidad son ignoradas, y la tensión del fluido depende linealmente de la velocidad de deformación, por lo que para determinar si se pueden ignorar más efectos físicos, se deben elegir escalas o valores de referencia típicos para cada variable, de manera que el problema pueda normalizarse. Para ello se requiere que el problema se le agreguen las condiciones de contorno.


Las condiciones de contorno adecuadas deben ser tales que conduzcan a un problema de valor en la frontera bien planteado (es decir, uno con solución única) para por lo menos un rango de valores de las constantes involucradas. Suponiendo que se dan las condiciones adecuadas, estas condiciones contendrán valores de referencia o escala para las variables, por ejemplo U para q, L para x, L/U para t, y T1 - T0 para T, donde T0 es la temperatura ambiente. Si entonces definimos las variables no dimensionales por


Ecuación

y así las ecuaciones del modelo (1) - (3) se transforman en las siguientes ecuaciones

Ecuación

donde el operador nabla () es con respecto a la variable y k es un vector unitario en la
dirección vertical ascendente. Se necesitan cuatro parámetros no dimensionales, aunque son posibles combinaciones claramente diferentes. Se elige el número de Reynolds, dado por

Ecuación

que compara los efectos de la inercia y la viscosidad, el número de Froude

Ecuación

el cual compara la inercia y la gravedad, el número de Prandtl

Ecuación

el mismo compara la escala de tiempo de la viscosidad con la de la conducción de calor, y el número de Brinkman

Ecuación

el mismo compara la disipación de la viscosidad del calor con la conducción de calor, otro parámetro, que se utiliza comúnmente, compara la escala de tiempo inercial con la de conducción y es el número de Peclet

Ecuación


Los valores numéricos de estos números deben ser establecidos para cualquier problema dado, y uno o más de ellos pueden ser muy pequeños o grandes. Así, para un número de Froude grande, los efectos de la gravedad pueden ser ignorados, ya que solo aparecen en un solo término con un pequeño coeficiente; para un número de Brinkman pequeño, la disipación puede ser descuidada en comparación con la conducción de calor y un modelo más simple derivado. Sin embargo, puede ser necesario, si no hay una elección obvia de la escala, reescalar una o más de las variables antes de descuidar los términos multiplicados por pequeños parámetros.


Así si Re << 1,además de 1/Fr y <Br << 1, el término de presión desaparecerá al usar Re = 0 y no será posible satisfacer todas las condiciones de contorno porque el orden del sistema de ecuaciones se ha reducido. La razón es que la escala de presión se basó en la inercia más que en las fuerzas viscosas, y es necesario una reescala, a saber


Ecuación

En este caso, con Re = 0 = Br = 1/Fr, y Pr un valor no grande para que Pe = 0, el modelo se
reduce a

Ecuación

Sin embargo, la ecuación dada en (7) no contiene ninguna derivada temporal, es decir, describe una situación instantánea en la escala de tiempo de inercia. Una escala de tiempo viscosa sería

Ecuación

con

Ecuación

luego, el modelo se convierte en

Ecuación

También puede darse el caso de que la escala de tiempo de temperatura t0 no sea ni la inercia ni la escala de tiempo de la viscosidad, la ecuación dada en (9) debe ser reemplazada por


Ecuación

donde

Ecuacion18.png

es la difusividad no dimensional.

1 Las dimensiones de la viscosidad cinemática Ecuación y la difusividad dimensional Ecuación son (longitud)2/tiempo.



Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de una nueva publicación donde las matemáticas tienen sus aplicaciones en otros campos de la ciencia los cuales son de mucho interés en general. Espero que la misma haya sido de su agrado, y pueda servir de una ventana de apoyo para visualizar las estrechas relaciones que existen en particular entre las ciencias, así como se puede contextualizar las mismas teorías en la ingeniería, gracias por tomar un poco de su tiempo y poder disfrutar un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y las ciencias básicas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.


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Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:

  1. Bender, C. M. and Orszag, S. A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, New York. 1978.
  2. Courant, R. and Hilbert, D. Methods of mathematical physics, vol. I. Interscience, New York. 1976.
  3. Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Fluid mechanics. Pergamon, London. 1963.
  4. Stakgold, I. Green's functions and boundary value problems. Wiley-Interscience, New York. 1979.

La imagen de fondo de la portada es una imagen de libre uso tomada de Pixabay y editada con GIMP por @abdulmath. Las imágenes son todas de libre uso, tomadas de Pixabay y editadas y tratadas con GIMP. Los títulos, imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, LaTeX2e, Inkscape y GIMP.



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Excelente @abdulmath, me siento muy identificado con el contenido que expresas en esta publicación. Yo como ingeniero reconozco que la solución a muchos problemas reales en el campo de la ingeniería no configuraría en el mundo moderno sin las aplicaciones que tienen los modelos matemáticos en la ingeniería.

Por ejemplo en la industria petrolera, antes de empezar la perforación de un pozo es necesario diseñar el fluido de perforación con el que se va a perforar cada una de las fases del hoyo. Este fluido de perforación tienen que cumplir con ciertas características hidráulicas para la limpieza del agujero, entre esta características hidráulicas está el régimen de flujo, el régimen de flujo para los fluidos de perforación tiene que ser turbulento, para ello es necesario calcular el número de reynolds.

Como lo expresas claramente en la ecuación para calcular el número de reynolds, para el fluido de perforación se tienen que poseer los siguientes datos:

  • La letra griega ro que presentas en la ecuación es la densidad del fluido de perforación, medido en libras/galón.

  • Se necesitan conocer los valores de viscosidad cinemática y viscosidad absoluta, en los laboratorios de fluido se analiza una muestra de fluido para calcular las viscosidades mencionadas.

  • La letra L representa la longitud de tubería por el que va a circular el fluido, medido en pie.

Se tiene que tomar en cuenta que el número de Reynolds es adimensional, si el número de reynolds da mayor a 4000, el fluido va a presentar un régimen de flujo turbulento que es el indicado para la limpieza del agujero mientras se perfora. Pero si por el contrario da por debajo de los 4000 es porque el fluido va a presentar un régimen de flujo laminar, teniendo en cuenta que el flujo laminar no presenta unas características idóneas para la limpieza del agujero.

La conclusión del caso amigo @abdulmath es que comparto contigo la idea de lo fundamental de los modelos matemáticos en la mecánica aplicada, yo como ingeniero de petróleo puedo decir con certeza que los modelos matemáticos nos simplifican y ayudan a solucionar muchos de los problemas que se presentan en la industria petrolera.

Gracias por presentarnos este contenido que resalta la importancia de los modelos matemáticos en la mecánica aplicada. Saludos y éxitos @abdulmath

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Hola @carlos84, ciertamente coincido en tus comentarios. Los modelos matemáticos son el factor primordial a la hora de resolver algún problema de ingeniería.

En cuanto, a la perforación de pozos eso es muy cierto tus comentarios. Pero si vas a la extracción del pozo como tal el número de Reynolds óptimo no puede poseer esos valores, ya que generaría turbulencia, lo cual en matemáticas es sinónimo de caos.

En la maestría, estuve trabajo un problema de transporte de crudo y estudiando en particularmente las condiciones para lo cual se generaba el caos, y así evitarlo, ya que cuando un flujo de petroleo se vuelve turbulento, este hace que la extracción se dificulte, generando un sin fin de problemas en la extracción.

Gracias a ti, por pasar un rato por mi publicación y alimentarla con tu gran aporte en tus comentarios. Saludos Cordiales.

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Correcto amigo @abdulmath el régimen de flujo turbulento para el transporte de petróleo por tubería no es el escenario más idóneo, pero en el caso del fluido de perforación en los chorros de la mecha requiere que forme ese caos de la turbulencia para que puede transportar el ripio desde el fondo del pozo donde es cortado hasta llegar a la superficie donde son recolectados por la zaranda vibratoria, de caso contrario todos los cortes de la formación quedarían en el fondo del hoyo haciendo que la perforación se pare porque la tubería se pega por lo que se conoce como pega de tubería por empaquetamiento, que no es mas que todo el ripio acumalado encima de la mecha de perforación, ya que los recortes no son arrastrados hasta la superficie y vuelven a caer y quedar en el fondo.

Lo bonito del tema que tocas es que abre una ventana para debatir sobre diversos temas, incluso aplicaciones dentro de la ingeniería, a la espera de que publique nuevas herramientas y modelos matemáticos aplicables en la rama de la ingeniería. Saludos y gracias por el aporte.

Saludos, profesor Abdul. Gusto en saber de usted nuevamente y feliz aniversario hoy por ser miembro de #STEM-Espanol, que hoy cumple su primer año. Sería bueno poder contar con su participación en los conversatorios de la comunidad.

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Saludos @eniolw, agradecido por tu invitación, pero en estos momentos no dispongo de tiempo para participar en los conversatorios de la comunidad. Es posible que más adelante pueda participar en los mismos.

Saludos Cordiales.

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Sí, se entiendo. Pero puede planificarlo poco a poco y eventualmente se realiza. Sería bueno contar con sus conocimientos en esta productiva y distintiva actividad de la comunidad de la que formamos parte. Saludos.

Saludos estimado amigo @abdulmath, en concordancia con tus trabajos anteriores referidos a la aplicabilidad de las matemáticas a las ciencias biológicas, este nuevo enfoque sobre la mecánica, da cuenta de la calidad académica de tu formación en este importante campo científico. Como lo expresa el amigo ONIEL @eniolw, sería interesante que nos socializarás estos enfoques biológicos y mecánicos aplicados de una manera interactiva en forma de Conversarorio, que estoy seguro reforzarán aspectos académicos y prácticos a usuarios no versados en esta área de las matemáticas.

Saludos, sigamos creciendo.

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Buenas tardes @lupafilotaxia, agradecido por tus comentarios. Saludos Cordiales.

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Hola mi estimado @abdulmath, excelente publicación la forma cómo aplicar la matemática en la mecánica la explicas muy bien que se hace fácil de entender, exitos....

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Hola @felizrodriguez, que bueno amigo tenerte de visita por mí blog, es un agrado que puedan entender un poco más lo temas que son de mi interés y que me apasionan de las matemáticas aplicadas. Espero seguir viéndolos por acá y que sigan siendo de mucho provecho los temas que abordo.

Un fuerte abrazo.

Saludos, amigo @abdulmath, excelente trabajo orientado a la mecánica clásica. Felicitaciones.

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Hola amigo @reyito, gracias por tus palabras, que bueno verte de nuevo por mi blog. Saludos cordiales.

Excelente publicación Doctor, veo que ya abandonaste el área de Biología para comenzar a otra y es genial! multidisciplinario, y es visto con mucho profesionalismo.. mis felicitiaciones.

Excelente publicación Doctor, veo que ya abandonaste el área de Biología para comenzar a otra y es genial! multidisciplinario, y es visto con mucho profesionalismo.. mis felicitiaciones.

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Hola @alexaivytorres, agradecido recibir tus comentarios! No he abandonado el área, solo he descansado un poco a los lectores sobre el tema, tengo preparados otros para futuro, mientras voy a escribir un poco en esta área que me gusta mucho de igual manera!

Sí me encantan los equipos multidisciplinarios! Espero pronto volver a escribir temas de tu interés en particular!

Saludos y un abrazo!

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