Modelos Continuos de Población | Extracción de Población

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. Las matemáticas hoy en día desempeñan un papel cada vez más importante y relevante en las ciencias, en particular en las ciencias biológicas, lo que ha provocado una gran confusión en las fronteras entre las disciplinas científicas y un gran auge por el resurgimiento del interés hacia las técnicas modernas y clásicas de las matemáticas aplicadas. Continuando con el tema que he venido desarrollando en mis ultimas publicaciones (La Biología y las Matemáticas, Modelos Continuos de Población | El modelo Crecimiento exponencial y El Modelo Logístico de Población y Modelos Continuos de Población | Análisis Cualitativo), en esta oportunidad desarrollaremos un modelo cuando la población es sometida a una tasa de extracción de la población, la cual pudiera ser constante o dependiente de la misma población, según sea el caso.

Esta publicación esta dirigida a estudiantes, profesionales e investigadores en especifico en el área de las ciencias Biológicas, o Matemáticas, y al publico interesado en estos temas interesantes para el entendimiento de parte del medio que nos envuelve en el día a día. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir dentro del tema. Sin perder más tiempo, comencemos.

Cuando necesitamos estudiar el efecto que pueda ocurrir sobre un modelo poblacional, por ejemplo el de la extracción de miembros de la población a una tasa dada, debemos de alguna manera expresar el mismo a traves de una ecuación. Ahora bien, si una población modelada por una ecuación diferencial

está sujeta a una tasa de extracción de miembros por unidad de tiempo h(t), para alguna función dada h(t), entonces la población es modelada por la ecuación diferencial

Si la función h(t) es una constante H, de modo que los miembros de la población se extraen a una tasa constante H por unidad de tiempo, entonces el modelo esta dad por

Este tipo de extración se denomina tasa de extracción constante o tasa constante. Este tipo de modelos surgen cuando se especifica una cuota (por ejemplo, a través de permisos como en las temporadas de caza de venados, o la temporada de pesca de sardinas, cabañas, entre otras, o por acuerdo como ocurre a veces en la caza de ballenas).

Si la población se rige por una ecuación logística, el modelo con extracción es el siguiente

y los equilibrios de la ecuación dada en (1) los podemos encontrar resolviendo la ecuación cuadrática siguiente:


ó


La misma posee dos equilibrios, a saber


siempre que


Si H > rK/4 ambas raíces son complejas, por lo tanto x'(t) < 0 para todos los valores de t, y cada solución choca, llegando a cero en tiempo finito.

Si una solución llega a cero en tiempo finito, consideramos que el sistema se ha colapsado. Si H es estrictamente positivo y H < rK/4, existen dos equilibrios: x_L, que crece desde 0 hasta K/2 cuando H crece desde 0 a rK/4, y x_U, que decrece desde K hasta K/2 a medida que H crece.

La estabilidad de un equilibrio x_∞ del modelo de extracción de población con tasa constante, es necesario que f'(x_∞) < 0, que para el modelo logístico significa x_∞ > K/2. Por lo tanto, x_L es siempre inestable y x_U es siempre asintóticamente estable. Cuando H crece al valor crítico H_c= rK/4 existe una discontinuidad en el comportamiento del sistema - los dos equilibrios se unen y eliminan el uno al otro.

Para H < H_c el tamaño de la población tiende a un tamaño de equilibrio que se aproxima a K/2 cuando H tiende a el punto crítico H_c (siempre y cuando el tamaño inicial de la población sea menor que x_L), pero para H > H_c el tamaño de la población llega a cero en tiempo finito para todos los tamaños de población iniciales, esto lo podemos ver gráficamente en la siguiente figura.

_{Comportamiento de las soluciones sujetas a una extracción de tasa constante. Elaborada con Inkscape, por @abdulmath}
Esta discontinuidad de la cual hablabamos antes se le suele denominar Catástrofe (matemática); las implicaciones biológicas son catastróficas para la especie que se está modelando.

Los equilibrios del modelo general x' = f(x)-H se encuentran resolviendo la ecuación f(x) - H = 0, es decir, encontrando los valores x_∞ de x para los cuales la curva de crecimiento y = f(x) y la curva de extracción y = H (una línea horizontal) se cruzan. Un equilibrio x_∞ es asintóticamente estable si

es decir, si en tal intersección la curva de crecimiento cruza la curva de extracción de arriba hacia abajo a medida que x crece, como lo podemos ver ilustrado en la siguiente figura.


_{Intersecciones de la curva de crecimiento con la línea de extracción con tasa constante. Elaborada con Inkscape, por @abdulmath}

Como podemos apreciar en la figura anterior, vemos como claramente que si H > máx(f(x)) no hay un equilibrio, y la tasa crítica de extracción H_c a la que se unen dos equilibrios y desaparece es el máx(f(x)).

Si la función h(t) es una función lineal del tamaño de la población, es decir, h(t)=Ex(t), el modelo es

Este tipo de extracción se conoce como cosecha proporcional o de esfuerzo constante.

Este tipo de modelos es frecuente encontrarlos en los modelos de pescas, donde a menudo se supone que x, es el número de peces capturados por unidad de tiempo, el cual es proporcional a E, que es el esfuerzo utilizado en la pesca.

Este esfuerzo pesquero podrá medirse, por ejemplo, mediante el número de barcos que pescan en un momento dado. La suposición de que la captura es proporcional al esfuerzo puede ser cuestionada por el hecho de que un mayor esfuerzo por pez capturado puede ser necesario si la población de peces es muy pequeña, pero parece ser una hipótesis razonable para muchas pesqueras reales.

Si la población se rige por un modelo logístico, el modelo de extracción es

entonces, existen dos equilibrios, el primero, el equilibro en x = 0 y el segundo se obtiene al resolver la ecuación siguiente


el cual denotaremos por


siempre que E tome un valor en el intervalo [0, r].

Es fácil verificar que el equilibrio en x = 0 es inestable y el equilibrio x_∞(E) es asintóticamente estable para valores de E en el intervalo [0, r]. Como el esfuerzo crece desde 0 hasta r, el equilibrio disminuye desde K hasta 0. Para un esfuerzo dadoE el rendimiento esta dado por

Este rendimiento alcanza un valor máximo de rK/4 para E = r/2, con x_∞(E) = K/2; creciendo el valor de esfuerzo más allá de r/2 es contraproducente en el sentido de que disminuye el rendimiento.

Para un modelo general x' = f(x) - Ex los equilibrios se encuentran resolviendo la ecuación f(x) -Ex = 0, es decir, encontrando los valores x_∞(E) de x, donde la curva de crecimiento y = f(x) y la curva de extracción y = Ex se cruzan. Un equilibrio es asintóticamente estable si

es decir, en tal intersección la curva de crecimiento cruza la curva de extracción de arriba hacia abajo a medida que x crece. Si f(0) = 0 entonces x = 0 es un equilibrio inestable a menos que x = 0 sea el único equilibrio.

Para un esfuerzo dado E, el rendimiento es Y = Ex_∞(E) = F(x_∞), y el rendimiento máximo es máx(F(x)), obtenido con E = E_máx elegido de tal manera que la línea y = Ex pase por el máximo de F(x).

_{Intersecciones de la curva de crecimiento y de la línea de extracción de esfuerzo constante. Elaborada con Inkscape, por @abdulmath.}

La curva de esfuerzo de rendimiento es el gráfico de rendimiento contra esfuerzo. En el caso de la compensación, el rendimiento crece a medida que el esfuerzo crece hasta un máximo, llamado rendimiento máximo sostenible (RMS), y luego decrece continuamente hasta cero, llegando a cero cuando E = f'(0). Sin embargo, en el caso de la depensación hay un esfuerzo crítico E^∗ = r(K^∗) donde el rendimiento cae a cero discontinuamente, como lo ilustramos en la siguiente figura.

_{Curva de esfuerzo de rendimiento. Elaborada con Inkscape, por @abdulmath.}

Lo mismo sucede con la depensación crítica, pero en la depensación crítica existe la propiedad adicional de que si el esfuerzo es lo suficientemente grande, el tamaño de la población puede caer por debajo de K₀ y luego ser atraída a el equilibrio asintóticamente estable a cero.

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutar de una nueva publicación donde las matemáticas tienen sus aplicaciones en otros campos de la ciencia los cuales son de mucho interés en general. Espero que la misma haya sido de su agrado, y pueda servir de una ventana de apoyo para visualizar las estrechas relaciones que existen en particular entre las ciencias, así como se puede contextualizar las mismas teorías en las ciencias sociales, gracias por tomar un poco de su tiempo y poder disfrutar un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y las ciencias básicas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:

1. Anónimo, An Essay on the Principle of Population, as it affects the future improvement of society with remarks on the speculations of Mr. Godwin, 1798.
2. Cohen, J. E. How Many People Can the Earth Support? W. W. Norton and Company, New York-London, 1995.
3. Eugene M. Izhikevich. Dynamical Systems in Neuroscience: The Geometry of Excitability and Bursting. Massachusetts Institute of Technology, 2007.
4. Fred Brauer, Carlos Castillo-Chávez, Elmer De La Pava-Salgado, Kamal Barley, Carlos W. Castillo-Garsow, Diego Chowell, Baltazar Espinoza, Paula González Parra, Carlos Hernández Suárez, Víctor M. Moreno. Modelos de la propagación de enfermedades infecciosas. Universidad Autónoma de Occidente. Cali, Colombia. 2015

La imagen de fondo de la portada es una imagen de libre uso tomada de y editada con GIMP por @abdulmath. Las imágenes son todas de libre uso, tomadas de y editadas y tratadas con GIMP. Los títulos, imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, LaTeX2e, Inkscape y GIMP.

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