Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. En está oportunidad les hablare un poco acerca de Interpolación Polinomial usando el entorno GNU Octave | 3^ra Parte, aquí mostraremos algunos tópicos especiales de interpolación polinomial. La misma está dirigida al público en general (aunque debemos acotar, este es un tema de un nivel más complejo, para el que es necesario tener de algunos conocimientos previos de análisis real, cálculo avanzado, programación, entre otros más), con atención especial a profesionales y estudiantes universitarios en ciencias, ingeniería y carreras afines. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir en el desarrollo del mismo. Sin perder más tiempo, iniciemos.

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Tópicos Especiales de Interpolación Polinomial

Siguiendo con el tema de Interpolación Polinomial que hemos venido desarrollando, vamos a tratar algunos tópicos especiales donde hablaremos de propiedades y algoritmos asociados con diferencias divididas, la noción de interpolación inversa y los conceptos básicos de la interpolación lineal bidimensional.

Diferencias Divididas

Consideremos una vez más el problema de interpolar cuatro puntos, es decir, n = 4, entonces podemos expresar a las constantes c₁, c₂, c₃ y c₄ en términos de x_i y f:

Los coeficientes los conocemos como diferencias divididas. Para enfatizar la dependencia de las constantes c_k en f y x₁, x₂, . . . ,x_k, escribimos


y se refieren a esta cantidad como diferencia dividida de k - 1 orden. Así


es el polinomio interpolante de n puntos de f en x₁, x₂, . . . ,x_n,
Ahora establecemos otra propiedad recursiva que relaciona las diferencias divididas de f en los subconjuntos designados de {x₁, . . . , x_n}. Supongamos que p_L(x) y p_R(x) son los interpolantes de f en {x₁, . . . , x_{k - 1}} y {x₂, . . . , x_k}, respectivamente. Es fácil verificar que si


entonces p(x_i)=f(x_i), i = 1:n. Así p(x) es el interpolante de f en {x₁, . . . , x_k} y entonces


Notemos que


el coeficiente de x^{k - 2} esta dado por f[x₁, . . . , x_{k - 1}]. Del mismo modo,


el coeficiente de x^{k - 2} esta dado por f[x₂, . . . , x_k]. Comparando los coeficientes de x^{k - 1} en (1) y (2) concluimos que


El desarrollo de diferencias divididas de orden superior a partir de diferencias divididas de orden inferior se ilustra a continuación


_{Esquema Diferencias Divididas.}
Observemos que las diferencias divididas que buscamos están a lo largo del borde izquierdo del árbol. Al quitar el exceso, vemos que las diferencias divididas requeridas se pueden construir como se muestra a continuación


_{Esquema de cálculo eficiente de Diferencias Divididas.}
Esto nos permite escribir la siguiente función en Octave de la siguiente manera:


_{Función para la Interpolación de Newton optimizada. Elaborado por @abdulmath con GNU Octave.}
Un numéro de simplificaciones resultan si x_i son igualmente espaciados. Asumimos que


donde h > 0 es el espaciado. De la ecuación (3) vemos que


Esto hace que la diferencia dividida sea un ajuste de las diferencias


que definimos de la siguiente manera


Por ejemplo,

Orden 0	Orden 1	Orden 2	Orden 3	Orden 4
f1
f2	f2 - f1
f3	f3 - f2	f3 -2f2+f1
f4	f4 - f3	f4 -2f3+f2	f4 -3f3+3f2-f1
f5	f5 - f4	f5 -2f4+f3	f5 -3f4+3f3-f2	f5 -4f4+6f3-4f2+f1

No es dificil mostrar que

La función incorporada diff se puede usar para calcular diferencias. En particular, si y es un vector de n componentes, entonces

d = diff(y)

y

d = y(2:n) - y(1:n-1)

son equivalentes.

Un segundo argumento se puede usar para calcular las diferencias de orden superior. Por ejemplo,

d = diff(y,2)

calcula las diferencias de segundo orden:

d = y(3:n) - 2*y(2:n-1) + y(1:n-2)

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Interpolación Inversa

Supongamos que la función f(x) tiene una inversa en [a, b]. Esto significa que existe una función g(x) tal que f(g(x)) = x para todo x en [a, b]. Por lo tanto, si g(x) = x^1/2 la función inversa es f(x) = x² en [0, 1]. Si

y y_i = f(x_i), entonces el polinomio que interpola los datos (y_i, x_i), i = 1:n es una interpolador de la inversa de f. Así tenemos el siguiente script


_{Script para interpolar la inversa de f(x). Elaborado por @abdulmath, en GNU Octave}
el mismo gráfica un interpolador de orden 5 de la función raíz cuadrada. Esto es lo que conocemos interpolación inversa, y una de sus aplicaciones importantes, es para hallar los ceros de una función.

Supongamos que f(x) es una función continua y monótona creciente o decreciente en [a, b]. Si f(a)f(b)<0 entonces f(x) tiene un cero en [a, b]. Si g(y) es un interpolador inverso, entonces g(0) podemos considerarlo como una aproximación de una raíz de la función.

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Interpolación en 2 Dimensiones

Supongamos que (u, v) esta dentro del rectangulo

Supongamos que f(x, y) esta definida en R y que sus valores en las cuatro esquinas f_ac = f(a, c), f_bc = f(b, c), f_ad = f(a, d), y f_bd = f(b, d). Nuestro objetivo es usar un interpolador lineal para obtener una estimación de f(u, v). Supongamos que h esta en el intervalo [0, 1] con la propiedad que u = (1-h)a + hb. Resulta que


son estimaciones interpoladas linealmente de f(u, c) y f(u, d) respectivamente. En consecuencia, si s está en el intervalo [0, 1] con v = (1 - s)c + sd, entonces una segunda interpolación entre f₁ y f₂ da una estimación de f(u, v):


Juntando todo, vemos que


La siguiente figura nos muestra los puntos de interpolación.


_{Interpolación lineal en dos dimensiones.}
Para probar estas ideas, escribimos una función que almacena en una matriz los valores de una función específica de dos variables:


_{Función de almacenamiento de los valores de f(x, y). Elaborado por @abdulmath con GNU Octave}
En general, la función pasada como feval puede tener un número arbitrario de argumentos. Si n son necesitados, entonces estos deben ser especificados e la llamada de la función feval. Para interpolar los valores en una matriz calculada por SetUp, es necesario "localizar" el punto en el cual la interpolación es requerida. Los cuatro valores relevantes de la matriz deben combinarse como se describió anteriormente.


_{Función de Interpolación Lineal en dos dimensiones}

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado y aprendido acerca de la Interpolación Polinomial usando el entorno GNU Octave | 2^ra Parte y ultima acerca de este tema. Espero que esto pueda servir de apoyo a ustedes, hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y la programación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:

• Demidovich, B. P., and I. A. Maron. Computational Mathematics Mir, Moscow, 1976.
• Björck, Åke. Numerical methods in matrix computations. Vol. 59. Cham: Springer, 2015.
• Burden, Richard L., and J. Douglas Faires. Numerical analysis. Ninth Edition. Cengage Learning. 2011.

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También los invito a leer las anteriores publicaciones de está serie de Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales, que estoy seguro serán de su interés:

Interpolación Polinomial usando el entorno GNU Octave - 1era Parte.	Interpolación Polinomial usando el entorno GNU Octave - 2da Parte.

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, GNU Octave, , GIMP e Inkscape.

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_{Imagen diseñada con GIMP y elaborada por @abdulmath.}