Ecuaciones no Lineales y Optimización | 3era Parte

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. En la ciencia, como en la Ingeniería, las ecuaciones no lineales, es un tema de gran interés, ya que las mayoría de los fenómenos físicos o de la vida real, están modelados por ecuaciones no lineales; estos fenómenos naturales por lo general se dicen que están fuera de equilibrio es estos casos y las ecuaciones dependerán de la naturaleza del fenómeno, es decir, discretas o continuas, en cuyos casos se representan por mapeo o ecuaciones diferenciales respectivamente. En esta publicación continuaremos tratando el tema de las Ecuaciones no Lineales y Optimización, a continuación desarrollaremos algunos aspectos del método de Newton para encontrar los ceros a una función, así como mostraremos los Script y funciones desarrolladas en GNU Octave. Espero sigan disfrutando; esta publicación está dirigida a profesionales e investigadores con algunas destrezas en temas de análisis real, cálculo avanzado, entre otros. Al final, les dejare una corta bibliografía, donde podrán consultar algunos tópicos especiales para los interesados. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir dentro del tema. Sin perder más tiempo, comencemos.

En resumen, hasta el momento hemos visto que el método de bisección converge linealmente (ver Ecuaciones no Lineales y Optimización | 1era Parte) mientras que el método de Newton lo hace de forma cuadrática (ver Ecuaciones no Lineales y Optimización | 2da Parte).

Sin embargo, a diferencia del método de bisección, el cual es bastante laborioso, el mismo garantiza la convergencia, grandes cosas pueden salir mal durante la iteración de Newton. No existe garantía de que x₊ esté más cerca de una raíz que x_c. Después de todo, es producido por un modelo lineal y f puede ser no lineal. Además, un valor pequeño para f'(x₊) va en contra de una convergencia rápida. Si la primera derivada es pequeña en la solución, entonces la línea tangente en la que se basa el paso de Newton es casi horizontal y tiene problemas para predecir x₊. A continuación mostramos un cuadro donde mostramos el número de iteraciones necesarias para encontrar un a la función f(x) = x² - a² con valor inicial t = 2

a	# de Iteraciones
100	5
10-4	18
10-8	31
10-12	43
0	50

Note que f'(x₊) = 2a y que la tasa de convergencia pasa de ser muy cuadrática a ser esencialmente lineal y disminuye de 1 a 0.

Pero cosas aún peores pueden suceder debido a los valores pequeños de la derivada. Si f'(x_c) es pequeño en relación a f(x_c), entonces el paso de Newton puede llevarnos a una región lejos de donde esta ubicada una raíz.

El ejemplo clásico de esto es la función f(x) = arctan(x). Ya que, f'(x) = 1/(1 + x²), la actualización de Newton tiene la forma

Se puede mostrar que si |x_c| > 1.3917, entonces |x₊| > |x_c|. Esto implica que la iteración diverge para valores iniciales fuera de [-1.3917, 1.3917].

Para garantizar la convergencia de cualquier valor inicial en una vecindad de alguna raíz, se puede demostrar que f no puede ser demasiado no lineal y que f' debe estar acotada fuera del cero. El siguiente teorema muestra lo que decimos.

Supongamos que f(x) y f'(x) se definen en un intervalo I de la forma siguiente

donde


y existen constantes positivas rho y delta de tal manera que

1. para todo x en I.
2. para todos los valores de x, e y en el intervalo I.
3. 

si x_c esta en el intervalo I, entonces

y


Por lo tanto, para cualquier x_c en el intervalo I, un paso de Newton más que la mitad de la distancia a x₊, garantiza así la convergencia para cualquier valor de partida en I y la tasa de convergencia es cuadrática.

El teorema muestra que si (1) la derivada f' no cambia de signo en un entorno de x₊, (2) f no es demasiado no lineal, y (3) la iteración de Newton comienza lo suficientemente cerca de x₊, entonces la convergencia está garantizada a una tasa cuadrática.

Para todas las funciones excepto las más simples, puede ser imposible verificar que se aplican las condiciones del teorema. Un resolvedor de ecuaciones no lineales de propósito general, basado en Newton, requiere un empaque cuidadoso para que sea útil en la práctica. A diferencia de la bisección, donde la longitud actual del intervalo limita el error, tenemos que confiar en la heurística para concluir que una iteración es aceptable como raíz calculada.

Una posibilidad es salir cuando |x₊₊ - x_c| sea lo suficientemente pequeño. Después de todo, si lim x_k = x₊, entonces lim |x_k+1 -x_k| = 0. Pero lo contrario no necesariamente sigue. Si f(x) = tan(x) y x_c = (pi)/2 - 10^-5, entonces |x₊₊ -x_c| es aproximadamente 10^-5 aunque la raíz más cercana esté en x = 0. Alternativamente, podríamos terminar tan pronto como |f(x_c)| sea pequeña. Pero esto no significa que x_c esté cerca de una raíz. Por ejemplo, si f(x) = (x - 1)¹⁰, entonces x_c = 1.1 hace a valor de f muy pequeño aunque esté relativamente lejos de la raíz x₊ = 1.

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Las dificultades que se acaban de discutir pueden ser manejadas con éxito combinando las ideas de Newton y Bisección de una manera que capture las mejores características de cada método. Al principio en el primer paso asumimos que tenemos un intervalo de cerrado [a, b] y que x_c es igual a uno de los puntos finales. Si

entonces procedemos con cualquiera de los intervalos [a, x₊₊] o [x₊₊, b]. El nuevo x_c es igual a x₊₊. Si el paso de Newton nos lleva fuera de [a, b], entonces tomamos un paso de bisección ajustando el nuevo x_cc a (a + b)/2. Para comprobar si el paso de Newton se mantiene en [a, b], usamos la siguiente función


_{Función de Verificación. Elaborado en GNU Octave, por @abdulmath.}

Para garantizar la finalización, detenemos la iteración si se cumple alguna de las siguientes tres condiciones:

1. La longitud del intervalo de dividido actual es menor que tolx, una tolerancia no negativa específica. Esto asegura que la raíz calculada está dentro de la tolerancia de una raíz verdadera. Esto no garantiza que f sea pequeña. Por ejemplo, si f(x) = (x - 1)^0.1, entonces x_c = 1.0000000001 está muy cerca de la raíz x₊ = 1, pero f(x_c) no es particularmente pequeño.
2. El valor absoluto de f(x_c) es menor o igual que tolf, una tolerancia no negativa especificada. Esto no significa que x_c esté cerca de una raíz verdadera. Por ejemplo, si f(x) = (x - 1)¹⁰, entonces x_c = 1.1 hace que f sea muy pequeño a pesar de que está relativamente lejos de la raíz x₊ = 1.
3. El número de evaluaciones de f excede un entero positivo especificado nEvalsMax. Esto significa que no se cumple ninguna de las dos condiciones anteriores.

Al juntarlo todo, obtenemos la siguiente función del método de Newton generalizada.

_{Función de Newton Generalizada. Elaborado en GNU Octave, por @abdulmath.}

En una situación típica, se toman una serie de pasos de bisección antes de iniciar las iteraciones de Newton. Por ejemplo, si intentamos encontrar un cero de f(x) = sin(x) con el intervalo inicial como sigue:

Pasos	a	x	b
Inicio	-10.995574287564276	-10.995574287564276	47.223889803846895
Bisección	-10.995574287564276	18.114157758141310	18.114157758141310
Bisección	-10.995574287564276	3.559291735288517	3.559291735288517
Newton	3.115476144648328	3.115476144648328	3.559291735288517
Newton	3.115476144648328	3.141598592990409	3.141598592990409
Newton	3.141592653589793	3.141592653589793	3.141598592990409

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Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de esta segunda entrega de este tan apasionante e interesante tema del cálculo numérico, Ecuaciones no Lineales y Optimización | 3era Parte apoyado con el entorno GNU Octave, en esta oportunidad pudimos estudiar algunas consideraciones sobre la convergencia de los métodos de bisección y Newton, así como construimos una generalización del método de Newton. Espero que el mismo sea de apoyo a ustedes en sus trabajos, o quizás sirva de apoyo para sus hijos, nietos, sobrinos o amigos que quieran aprender un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y la programación. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:

• Demidovich, B. P., and I. A. Maron. Computational Mathematics Mir, Moscow, 1976.
• Björck, Åke. Numerical methods in matrix computations. Vol. 59. Cham: Springer, 2015.
• Burden, Richard L., and J. Douglas Faires. Numerical analysis. Ninth Edition. Cengage Learning. 2011.

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Las imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, GNU Octave, , GIMP e Inkscape.

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