代数问题的几何意义

机机整了道数学题，还用了两种方法去解，机机真是冰雪聪明。这道题的意思说的是：

a, b, c 是实数，已知 a+b+c=3, a²+b²+c²=3，求a, b, c的值。

机机用了两种代数方法，又是构造一元二次方程，又是因式分解，忙得不亦乐乎，已经非常冰雪聪明了。其实呢，这个题是有明确几何意义的。观察这两个方程，第一个方程表示的是一个面，第二个方程表示的是一个球。所以这道题的实质就是探讨这个平面和球的关系。

既然是讨论几何问题，为了符合习惯，把a, b, c换成x, y, z，这样看着舒服一点。

在空间中，x+y+z=3是过 (3, 0, 0), (0, 3, 0) 和 (0, 0, 3) 这三个点的一个平面。x²+y²+z²=3 是以原点 (0, 0, 0) 为球心，半径为√3的球。这个平面和球的空间关系是怎样的？冥冥之中觉得应该是相切的。

简略研究一下，看看 x+y+z=3 平面到原点(0, 0, 0)的距离。空间中的点到平面的距离有现成的公式求解，可以参考下面的链接。具体套公式的过程就不在这里写了，总之通过直接套点到平面的距离公式可以求出原点 (0, 0, 0) 到平面 x+y+z=3 的距离正好是 √3，等于球的半径 ， 而且 x+y+z=3 平面上距离原点最近的点的坐标是 (1, 1, 1) 。虽然这个论证过程不是很严格，但基本上也看出来了，此面就是此球的切面，切点，也就是平面与球交点的坐标是(1, 1, 1) ，所以原题的解就是 a=b=c=1。

为了更直观一点，不妨用图像来表示。在这个网站上，

https://www.geogebra.org/3d?lang=en

输入方程，就可以方便的做出三维图像。

这个图就非常一目了然了，平面和球是相切的，切点的坐标也就是方程的解。

三维的问题就算是解决了，那如果是四维呢？如果 a+b+c+d=4, a²+b²+c²+d² =4 是否仍然还有 a=b=c=d=1 呢？

再如果再继续扩展到n维，是否仍然还是一样的结论呢？这个问题就留给大家去琢磨吧。注意哦，到了四维就做不出图像了，得靠死想了。 但高维空间的问题可以投影到低维空间，比如四维空间的图像画不出来，但可以投影到三维空间画出图像。这大概就是传说中的“降维打击”吧。

Reference

点到平面的距离公式，请参考 https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_from_a_point_to_a_plane

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