Caballos y casi-caballos

Buscando la solución a una cuenta que me está rompiendo la cabeza estos días, llegué a un libro muy lindo de Richard D. Mattuck, A Guide to Feynman Diagrams in the Many-Body Problem, sobre un problema importante de la física: el problema de muchos cuerpos. La introducción es tan linda que me parece que se puede hacer un post basado en ella.

Fuente (by Dnttllthmmnm)

El problema de muchos cuerpos básicamente consiste en responder la siguiente pregunta, en apariencia sencilla:

¿Cómo se moverán los componentes de un conjunto de muchos cuerpos?

El primer ejemplo histórico del problema de muchos cuerpos es la famosa pregunta bizantina ¿cuántos ángeles caben en la cabeza de un alfiler? Ese ejemplo pone en evidencia que el problema empieza cuando los ángeles interactúan, se empujan unos a otros, se birlan mutuamente el asiento. Si los cuerpos no interactuaran, si cada uno de los ángeles no supiera nada sobre la existencia, posiciones e intenciones de los demás, el problema sería muy sencillo: cada cuerpo se movería como si estuviera sólo en el Universo. Muchos cuerpos son un problema sólo cuando interactúan.

Fuente (PD1996)

Es decir que, para ser precisos, la pregunta debería reformularse como:

¿Cómo se moverán los componentes de un conjunto de muchos cuerpos que están interactuando entre sí?

La respuesta constituye un problema tremendamente complicado, lleno de física de la más interesante. En caso de que pretendiéramos responderla sin hacer ninguna aproximación, en términos puramente matemáticos la pregunta podría reformularse como sigue:

¿A partir de cuántos cuerpos las ecuaciones que describen el problema dejan de tener soluciones exactas? ¿Cuántos cuerpos empiezan a ser muchos cuerpos? ¿cuántos son realmente un problema?

La respuesta a este interrogante, relativamente sencillo, fue cambiando a lo largo de la historia:

• En el siglo VIII, con la nueva ciencia de la Mecánica, Newton resolvió exactamente el problema de dos cuerpos, pero el problema de tres cuerpos se reveló rápidamente como imposible de resolver.

• En el siglo XIX, con el descubrimiento de las leyes de la Electrodinámica y del consecuente fenómeno de la radiación, el problema de dos cuerpos, que se había creído entendido, dejó de tener solución.

• En el siglo XX, con el advenimiento de la Mecánica Cuántica, cuyo estado de vacío es irresoluble ¡dejamos de entender el problema de cero cuerpos!

Viendo que el enfoque de resolución exacta no sólo no avanza a medida que aumenta nuestro conocimiento del universo, sino que al contrario retrocede, uno podría desesperanzarse. Sin embargo, la física obtiene sus datos de la medida, la cual se conoce sólo con un cierto grado de precisión. Esto hace natural buscar soluciones aproximadas a las ecuaciones. Después de todo ¿qué sentido tendría buscar soluciones exactas, si luego vamos a compararlas con una medida aproximada? Así, la necesidad se torna virtud, y el enfoque aproximado al problema de muchos cuerpos se vuelve útil.

Vayamos al ejemplo más sencillo: dos cuerpos en la mecánica clásica. Imaginemos que arrojamos al aire una boleadora, formada por sólo dos piedras unidas por una soga. El movimiento resultante puede ser muy complicado, con cada una de las piedras describiendo una trayectoria bastante compleja. Pero si prestamos atención a las clases de física del secundario, sabremos que ese problema se puede separar en el del movimiento del centro de masas de las piedras, y el del movimiento de su coordenada relativa (la distancia entre las piedras). El centro de masas se mueve independientemente de la coordenada relativa, como si no interactuaran entre sí.

(¿Perdí la mitad de mis lectores aquí? no se preocupen, no es crucial entender esto para continuar leyendo).

Lo único importante es la moraleja: si bien el movimiento de muchos cuerpos puede ser complicado, a veces se puede describir, al menos aproximadamente, en términos de otras coordenadas que se mueven libremente, y que no saben nada unas de otras. A veces podemos imaginarnos que esas esas coordenadas son las posiciones de otros cuerpos, ficticios, a los que llamamos casi-cuerpos.

Esos casi-cuerpos aparecen cada vez que hay un conjunto de muchos cuerpos interactuando de manera complicada, muy fuertemente, y resulta que ese movimiento se puede describir en términos de otros cuerpos, que interactúan de manera sencilla, muy débilmente.

Un caballo que corre en la Pampa levanta polvareda. Describir el movimiento del caballo y de cada una de las partículas de polvo puede ser una tarea complicada. Pero describir el movimiento de la nube resultante formada por el caballo y las partículas, o sea del casi-caballo, puede en cambio ser bastante simple.

Fuente (CC BY-NC-ND 2.0)

Un electrón que atraviesa un sólido arrastra otros electrones. Describir el movimiento de todos esos electrones puede ser una tarea complicada. Pero describir el movimiento de la nube resultante, formada por el electrón original y los otros electrones arrastrados por él, o sea del casi-electrón, puede en cambio ser bastante simple.

Usando estos casi-cuerpos (o cuasipartículas, en el mundo microscópico) se puede entender el movimiento de sistemas de muchos cuerpos y describirlo con buena aproximación. De hecho, esa es por ejemplo la forma en la que entendemos el movimiento de los electrones dentro de los cables de una instalación eléctrica. Cada uno de los electrones interactúa con los demás y se mueve complicadamente. Pero cada uno arrastra consigo una nube de socios, tomando la identidad de casi-electrón, cuyo movimiento es mucho más simple.

Los sistemas de muchos cuerpos pueden moverse también de modos no descriptibles en términos de casi-cuerpos. Movimientos de la nube de polvo que no podemos imaginar como los de un casi-caballo. Estos movimiento se conocen como excitaciones colectivas.

El mejor ejemplo de excitación colectiva (porque juega con la ambigüedad de ambas palabras) es la ola mexicana, un fenómeno futbolístico que rmpezó en el mundial '86, y que se puede ver en este enlace. Cada uno de los participantes realiza un movimiento sencillo que termina en su posición inicial, es decir que no cambió de lugar. Pero hay otra cosa, la ola misma, que se está desplazando de una manera diferente a la de cada participante. La ola es una excitación colectiva.

Otro ejemplo de excitaciones colectivas en la naturaleza es el que constituyen los fonones, u ondas de sonido: son movimientos colectivos de los átomos que constituyen la materia. Si bien los átomos se balancean alrededor de un punto fijo, el sonido se transmite de un lado a otro de la habitación.

Lo interesante es que la mecánica cuántica borronea la distinción entre partículas y ondas, por lo que las excitaciones colectivas de un sistema de muchos cuerpos son también, en algún sentido, casi-cuerpos. Es decir que la ola mexicana es, en algún sentido, el casi-cuerpo de la multitud, la psique colectiva hecha carne. La prueba de que muchos cuerpos no sólo comparten orgías.

Fuente (dominio público).

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