Saludos comunidad, en esta oportunidad les presentaré la Operación de Conjuntos con la cual daríamos por finalizada la temática referente a la Teoría de Conjuntos (en lo que respecta a los fundamentos teóricos de la misma), a saber, Producto Cartesiano, una operación de gran importancia y aplicabilidad en el ámbito de la Matemática, sobre todo en lo que refiere a las Relaciones y Funciones.

El Producto Cartesiano es una operación binaria fundamentalmente (aunque más adelante nos daremos cuenta que pueden haber más conjuntos involucrados en la misma) que permite vincular de forma ordenada los elementos de al menos dos conjuntos, formando lo que se conoce como pares ordenados, los cuales se pasarán a definir formalmente en primer lugar:

Sean dos elementos cualesquiera a y b, se tiene que la forma (a,b) se le denomina par ordenado y define el siguiente conjunto:

En la expresión anterior a se le denomina primera componente y b se conoce como segunda componente. Adicionalmente es importante señalar que si a≠b entonces (a,b)≠(b,a).
Un caso particular de este concepto viene dado por la siguiente expresión

Ahora que ya se cuenta con cierta claridad teórica sobre los pares ordenados, es el momento de definir desde el punto de vista matemático el Producto Cartesiano como sigue:

Dados dos conjuntos A y B subconjuntos del Conjunto Universal se tiene que el producto cartesiano A×B es un conjunto formado por pares ordenados tales que la primera componente pertenece al primer conjunto y la segunda componente pertenece al segundo conjunto. Simbólicamente es

Esto indica que a este conjunto pertenecerán tantos pares ordenados como elementos de los conjuntos dados se puedan vincular. La definición anterior puede particularizarse si A=B, en cuyo caso el conjunto vendría expresado por la siguiente expresión

El Producto Cartesiano puede representarse gráficamente en un Diagrama de Venn como se muestra en la siguiente imagen

Como puede observarse todos los elementos de los conjuntos A y B se encuentran vinculados, por lo cual, cada uno de esos enlaces forma pares ordenados y éstos a su vez son elementos que pertenecen al referido conjunto. Como puede observar la situación presentada ilustra una situación que puede presentarse de forma analítica como sigue:

A={1,2,3,4}

B={a,b,c}

A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c),(4,a),(4,b),(4,c)}

Además de la representación anterior, el producto cartesiano también puede ser visualizado en un gráfico cartesiano, el cual en general, para esta operación es más utilizado

En este gráfico, los puntos amarillos son los pares ordenados que formarán parte del conjunto.

Por otro lado, en el producto cartesiano A×B×C los elementos son ternas ordenadas, es decir, tienen tres componentes y definen el siguiente conjunto

Si A=B=C, entonces el conjunto anterior se puede definir en A×A×A como sigue

La representación gráfica en este caso sería en un espacio tridimensional.

Ahora bien, en este punto conviene analizar las propiedades que podrían cumplirse en el producto cartesiano. En principio, si estudiamos la propiedad conmutativa nos damos cuenta que por el concepto de par ordenado no es posible que se verifique en general esta propiedad para esta operación, en tanto que como ya se indicó anteriormente (a,b)≠(b,a).

Por otro lado, en el producto cartesiano se verifica la propiedad distributiva respecto de la Unión de Conjuntos. Esto es

Para desarrollar la demostración de esta propiedad se deben considerar las siguientes definiciones:

• Definición de Igualdad de Conjuntos (es decir, demostrar la doble inclusión)
• Definición de Producto Cartesiano
• Definición de Unión de Conjuntos
• Propiedades de las Operaciones con Conjuntos
• Leyes lógicas de la conjunción y la disyunción inclusiva

A continuación, procedamos con la demostración:

i ¿(A∪B)×C⊂(A×C)∪(B×C)?

∀(x,y)∈[(A∪B)×C]⇒x∈(A∪B)∧y∈C, por definición de producto cartesiano
⇒(x∈A∨x∈B)∧y∈C, por definición de unión de conjuntos
⇒(x∈A∧y∈C)∨(x∈B∧y∈C), por ley lógica distributiva de la conjunción respecto de la disyunción inclusiva
⇒(x,y)∈(A×C)∨(x,y)∈(B×C), por definición de producto cartesiano
⇒(x,y)∈[(A×C)∪(B×C)], por definición de unión de conjuntos
∴Se demuestra que (A∪B)×C⊂(A×C)∪(B×C), por definición de Inclusión de Conjuntos

ii ¿ (A×C)∪(B×C)⊂(A∪B)×C?

∀(x,y)∈[(A×C)∪(B×C)]⇒(x,y)∈(A×C)∨(x,y)∈(B×C), por definición de unión de conjuntos
⇒(x∈A∧y∈C)∨(x∈B∧y∈C), por definición de producto cartesiano
⇒(x∈A∨x∈B)∧y∈C, por ley lógica distributiva de la conjunción respecto de la disyunción inclusiva
⇒x∈(A∪B)∧y∈C, por definición de unión de conjuntos
⇒(x,y)∈[(A∪B)×C], por definición de producto cartesiano
∴Se demuestra que (A×C)∪(B×C)⊂(A∪B)×C, por definición de Inclusión de Conjuntos.
∴ Por i y ii se demuestra que (A∪B)×C=(A×C)∪(B×C), por definición de Igualdad de Conjuntos ∎

La siguiente publicación, será de tipo práctica, la permitirá reforzar las diferentes definiciones y propiedades estudiadas en las Operaciones con Conjuntos que se abordaron hasta este post. Nos estamos leyendo.

Ninguna investigación humana puede ser denominada ciencia si no pasa a través de pruebas matemáticas - Leonardo Da Vinci.

Referencia

Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.
Lipschutz, S. (1970). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Teoría y 530 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw-Hill.
Todas las imágenes, separadores y banners de este artículo son de autoría propia.

---

Artículo Anterior

Operaciones Generalizadas