Operaciones Generalizadas

Saludos a toda la comunidad de Steemit, nuevamente nos encontramos para compartir en torno a la temática Operaciones con Conjuntos, en esta oportunidad abordaremos las Operaciones Generalizadas y es que si bien las ya estudiada se han definitivo en su mayoría como operaciones binarias, hay dos en particular que bajo condiciones específicas pueden ampliar su impacto a n conjuntos. Las mismas pueden ser de gran utilidad cuando se procura conocer información en la cual están involucrados un número superior a dos conjuntos. En principio es necesario conocer las condiciones bajo las cuales de definen estas operaciones:

• Primeramente se requiere un conjunto finito conformado por todos los conjuntos que estarán involucrados en la respectiva operación generalizada, a tal conjunto lo llamaremos familia de conjuntos representándola como sigue

• Adicionalmente, consideramos un subconjunto del Conjunto de los Números Naturales N el cual estará conformado por los primeros elementos del mismo a partir del número 1. Este subconjunto se identificará mediante I y se le denominará conjunto de índices en el cual estarán los índices de los conjuntos que pertenezcan a la familia de conjuntos y se representará así

Una vez definidos estos aspectos es posible conocer en detalle, las Operaciones Generalizadas.

Intersección Generalizada

Dada una familia de conjuntos y el respectivo conjunto de índices denotado por I, es posible conocer el conjunto intersección generalizada si procedemos de la siguiente manera

En este caso, de acuerdo a la definición de Intersección de Conjuntos debemos seleccionar todos los elementos en común que pertenezcan de forma simultánea a cada uno de los conjuntos que forma parte de la familia. Resumiendo la expresión anterior y aplicando de forma expandida la definición se tiene que

Lo anterior puede ser visualizado mediante el siguiente Diagrama de Venn

Ahora bien, de igual forma es posible saber cuándo un cierto elemento no pertenece al referido conjunto tal como se muestra en la siguiente imagen

Como puede observarse, basta con que el elemento no pertenezca de manera simultánea a todos los conjuntos que integran la familia para no pertenecer a la Intersección Generalizada. Asimismo es importante destacar que esta operación extendida hereda todas las propiedades definidas para la Intersección de Conjuntos en el caso binario (dos conjuntos).

Unión Generalizada

Sea una familia de conjuntos y el conjunto de índices respectivo simbolizado por I, así como el caso anterior, es posible determinar el conjunto unión generalizada mediante la siguiente expresión

En este sentido, atendiendo a la definición de Unión de Conjuntos conocida para el caso binario, basta con que un elemento cualquiera pertenezca a alguno de los conjuntos pertenecientes a la familia para que se encuentre en el conjunto unión generalizada. Unificando la expresión anterior, la definición de Unión Generalizada estaría representada de la siguiente manera

La definición puede ser visualizada mediante el siguiente Diagrama de Venn

De lo anterior se desprende que para que un elemento cualquiera no pertenezca a este conjunto debe cumplir a su vez que él mismo no pertenezca a ninguno de los conjuntos que conforman la familia, como se muestra a continuación

Del mismo modo, tal como sucede con la anterior, en el caso de la Unión Generalizada también se asumen todas las propiedades definidas para el caso binario.

En lo que respecta al caso particular de las Leyes de De Morgan se pueden definir para las operaciones generalizadas tal como se muestra a continuación:

Uniones Disjuntas

Es posible precisar la unión generalizada de conjuntos para el caso en el cual no necesariamente los conjuntos que conforman la familia de conjuntos tienen elementos en común, esto es, su intersección es vacía, por ende los conjuntos serían disjuntos. La misma, para el caso binario (dos conjuntos) se representaría de la siguiente forma:

La situación quedaría representada mediante el siguiente Diagrama de Venn

Ahora bien, este caso particular puede expresarse de forma extendida como sigue:

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A continuación, con el propósito de visualizar los conceptos de Intersección y Unión Generalizadas en una situación de la cotidianidad procedamos a resolver el planteamiento siguiente:

Supongamos que tenemos una población de estudiantes que quiere optar a una serie de cursos de acuerdo a la siguiente selección

Se solicita lo siguiente: a) la población estudiantil total y b) los estudiantes que están inscritos a su vez en todos los cursos.

Para dar respuesta a la primera parte del planteamiento procedemos a aplicar la definición de Unión Generalizada, esto es, en el conjunto resultante estarán todos los estudiantes inscritos en los diferentes cursos ofertados como sigue:

Como sabemos, en las instituciones educativas existen estudiantes que les gusta optar a todos los cursos ofertados, tal situación solicitada en la segunda parte del planteamiento, puede ser determinada aplicando la definición de Intersección Generalizada tal como se muestra a continuación:

Así como aplica en la situación que se acaba de presentar, las operaciones generalizadas tienen gran utilidad en situaciones similares de nuestro entorno, es cuestión de identificarlas debidamente tal como lo acabamos de hacer. Nos leemos en la próxima publicación.

Con números se puede demostrar cualquier cosa - Thomas Carlyle .

Referencia

Armando, R. (2001). Algebra I. Edición XX. Editorial El Ateneo.
Lipschutz, S. (1970). Teoría de Conjuntos y Temas Afines. Teoría y 530 problemas resueltos. Serie de compendios SCHAUM. Mc Graw-Hill.
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